| http://dbpedia.org/ontology/abstract
|
San ailgéabar, is éard is ceathairníon (io … San ailgéabar, is éard is ceathairníon (iolra ceathairnín) ann ná eagar ceithre réaduimhir, ordaithe de réir dlíthe áirithe ceaptha. Léirítear na dlíthe ceaptha mar seo:
*
* . Is sampla é d'ailgéabar neamhchomhalartach de bhrí nach bhfuil an t-iolrú malartach. Tugadh an t-ainm “na ceathairnín” ar an ailgéabar seo mar gheall ar an ceathair uimhir i ngach ord. Bhain na fisiceoirí an chuid choimpléascach amach as chun oibriú le veicteoirí. Ba é an matamaiticeoir Éireannach William Rowan Hamilton a d'fhionn na ceathairnín agus a shaothraigh an réimse seo matamaitice i dtús báire. Ar 16 Deireadh Fómhair 1843 i mBaile Átha Cliath, bhí Hamilton ag siúl chuig Acadamh Ríoga na hÉireann, áit a raibh sé le bheith i gceannas ar chruinniú comhairle. Agus é ag siúl feadh na Canála Ríoga in éineacht lena bhean chéile, bhí na coincheapa taobh thiar de na ceathairnín ag teacht chun cinn ina intinn. Nuair a tháinig an freagra chuige, ghrean sé foirmle na gceathairníon i gcloch ar Dhroichead Brougham: Cé nach bhfuil an greanadh infheicthe a thuilleadh, bíonn oilithreacht go dtí an áit gach bliain ar a dtugtar an Hamilton Walk. Siúlann grúpa eolaithe agus matamaiticeoirí ó Réadlann Dhún Sinche go Droichead na Canálach Ríoga i gcuimhne ar fhionnachtain Hamilton.íoga i gcuimhne ar fhionnachtain Hamilton.
, In matematica, i quaternioni sono entità i … In matematica, i quaternioni sono entità introdotte da William Rowan Hamilton nel 1843 come estensioni dei numeri complessi. Un quaternione è un oggetto formale del tipo dove sono numeri reali e sono dei simboli che si comportano in modo simile all'unità immaginaria dei numeri complessi. I quaternioni formano un corpo: soddisfano quindi tutte le proprietà usuali dei campi, quali i numeri reali o complessi, tranne la proprietà commutativa del prodotto. Le estensioni dei quaternioni, quali gli ottetti e i sedenioni, non hanno neppure la proprietà associativa. I quaternioni contengono i numeri complessi e formano anche uno spazio vettoriale reale di dimensione 4 (analogamente ai complessi, che sono uno spazio a 2 dimensioni, cioè un piano). Le due proprietà di corpo e di spazio vettoriale conferiscono ai quaternioni una struttura di algebra di divisione non commutativa. I quaternioni trovano un'importante applicazione nella modellizzazione delle rotazioni dello spazio: per questo motivo questi sono ampiamente usati nella fisica teorica (nella teoria della relatività e nella meccanica quantistica) e in settori più applicati, come la computer grafica 3D e la robotica (per individuare la posizione spaziale dei bracci meccanici a più snodi). Analogamente all'analisi complessa e allo studio delle funzioni olomorfe di variabile complessa, raccoglie un interesse crescente l' e lo studio delle .interesse crescente l' e lo studio delle .
, V matematice jsou kvaterniony (z lat. quat … V matematice jsou kvaterniony (z lat. quaternion, čtveřice) nekomutativní rozšíření oboru komplexních čísel. Lze je definovat jako uspořádané čtveřice reálných čísel se speciálně definovanými operacemi sčítání a násobení. Poprvé byly kvaterniony popsány Williamem Rowanem Hamiltonem v roce 1843 a na jeho počest se obvykle označují počátečním písmenem jeho příjmení . Nejdříve byly považovány za nevhodný a uměle vykonstruovaný objekt, jelikož porušovaly komutativní zákon, postupně ale našly uplatnění jak v teoretické fyzice, tak v aplikované matematice (nyní jsou obvykle pohodlně vystihnuty maticovým počtem, mnohdy za jistou cenu i pomocí vektorů)., mnohdy za jistou cenu i pomocí vektorů).
, الكواتيرنيون (بالإنجليزية: Quaternion) في … الكواتيرنيون (بالإنجليزية: Quaternion) في مجال الرياضيات هو امتداد عملية غير تبديلية للأعداد المركبة. وصَف الكواتيرنيون السير ويليام هاميلتون في عام1843 وطبقهم على الميكانيك في الفضاء ثلاثي الأبعاد. في البداية تم اعتبار الكواتيرنيون عنصرا غير مفيد لأنها تخالف قانون العملية التبديلية ab = ba. على الرغم أنه تم الاستعاضة عنهم في كثير من التطبيقات بالأشعة والمصفوفات، إلا ما زال يوجد لهم العديد من الاستخدامات في الرياضيات النظرية والتطبيقية، بشكل خاص الحسابات المتعلقة بالدوران ثلاثي الأبعاد كما في الرسوميات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد. في العصر الحديث يشار إلى الكواترنيون بالرمز الجبري H نسبة إلى العالم هاميلتون أو باستخدام الرمز العريض .العالم هاميلتون أو باستخدام الرمز العريض .
, Los cuaterniones (también llamados cuatern … Los cuaterniones (también llamados cuaternios) son una extensión de los números reales, similar a la de los números complejos. Mientras que los números complejos son una extensión de los reales por la adición de la unidad imaginaria i, tal que , los cuaterniones son una extensión generada de manera análoga añadiendo las unidades imaginarias i, j y k a los números reales tal que: , como se muestra mediante la tabla de multiplicación de Cayley. Los elementos 1, i, j y k son los componentes de la base de los cuaterniones considerado como un ℝ-espacio vectorial de dimensión 4.omo un ℝ-espacio vectorial de dimensión 4.
, Els quaternions són una generalització del … Els quaternions són una generalització dels nombres complexos, de tal manera que si un nombre complex defineix dues dimensions afegint la component i (cal recordar que ), un quaternió defineix quatre dimensions afegint les components i,j,k, de manera que: Es pot resumir en aquesta taula de multiplicació: Un quaternió, doncs, és un nombre de la forma: z = a + bi + cj + dk, on els 4 nombres reals a, b, c i d defineixen únicament el quaternió z. El valor absolut del quaternió z es defineix com a: La multiplicació de quaternions té les propietats associativa i distributiva però no la commutativa: el conjunt dels quaternions és, doncs, un cos no abelià. Van ser ideats per Sir William Rowan Hamilton, el 16 d'octubre de 1843 (un dilluns) després de pensar bastant de temps en com era possible multiplicar "", o trios de nombres (de fet, és impossible). Va ser mentre, caminant amb la seva dona, anava a presidir una reunió a l'Reial Acadèmia d'Irlanda; la idea li va venir de sobte i se'n va alegrar tant que va gravar la fórmula esmentada a un dels carreus d'un pont que hi havia al camí. Tot i així, ja havien estat estudiats uns anys abans (1840) de forma geomètrica pel matemàtic francès Olinde Rodrigues, malgrat que la seva obra va ser poc o gens coneguda.e la seva obra va ser poc o gens coneguda.
, Кватерніо́н — чотиривимірне гіперкомплексн … Кватерніо́н — чотиривимірне гіперкомплексне число без дільників нуля. Уперше описане В. Р. Гамільтоном у 1843 році. Кватерніони використовуються як у теоретичній, так і у прикладній математиці, зокрема для розрахунку поворотів у просторі у тривимірній графіці та машинному зорі.і у тривимірній графіці та машинному зорі.
, De quaternionen zijn een uitbreiding van d … De quaternionen zijn een uitbreiding van de complexe getallen. Zoals de complexe getallen een tweedimensionale uitbreiding zijn van de reële getallen, zo zijn de quaternionen een tweedimensionale uitbreiding van de complexe getallen, en daarmee een vierdimensionale uitbreiding van de reële getallen. Quaternionen werden in 1843 door de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton geïntroduceerd voor toepassing in de mechanica. Naar hem wordt de verzameling van de quaternionen wel aangeduid met het symbool . Quaternionen worden in computerprogramma's voor relatieve oriëntatiebepaling in drie dimensies gebruikt. Zij zijn geschikt voor de beschrijving van een rotatie in de driedimensionale ruimte die twee congruente voorwerpen in elkaar doet overgaan. Met een quaternion gaat dit veel beter dan met eulerhoeken (rollen, stampen, gieren), omdat een kleine verandering van oriëntatie altijd een kleine verandering in de vier reële coördinaten geeft, waar hoeken bijvoorbeeld soms plotseling van 359° naar 1° verspringen met alle problemen in software van dien. Technische toepassingen vormen bijvoorbeeld de beschrijving in de ruimtevaart voor de koppeling van twee ruimtevaartuigen. In de robotica beschrijven quaternionen bij het lassen in de automobielindustrie de bewegingen van de robotarm.elindustrie de bewegingen van de robotarm.
, Dalam matematika, Kuaternion adalah perlua … Dalam matematika, Kuaternion adalah perluasan dari bilangan-bilangan kompleks yang tidak komutatif, dan diterapkan dalam mekanika tiga dimensi. Kuaternion ditemukan oleh ahli matematika dan astronomi Inggris, William Rowan Hamilton, yang memperpanjang aritmetika kompleks nomor ke kuaternion. Segera setelah itu penemuan Hamilton, matematikawan Jerman Hermann Grassmann mulai menyelidiki vektor. Meskipun karakter abstrak, fisikawan Amerika JW Gibbs diakui dalam aljabar vektor sistem utilitas besar bagi fisikawan, seperti Hamilton mengakui kegunaan kuaternion. Pengaruh luas dari pendekatan abstrak yang dipimpin George Boole untuk menulis Hukum Thought (1854), perawatan aljabar dasar logika.ht (1854), perawatan aljabar dasar logika.
, Koaternioiak zenbaki konplexuen hedadura d … Koaternioiak zenbaki konplexuen hedadura dira. Koaternioien multzoak, multzoak, lau dimentsioetako bektore espazioa osatzen du, multzo hau multzoarekin identifika daiteke, alegia, errealen gaineko 4 dimentsioetako bektore espazioa osatzen dute. Bi elementuren arteko batuketaren definizioa espazioko elementuen batuketaren bera da. Koaternioi bati zenbaki erreal bat biderkatzeko ere espazioko elementuei eskalarra biderkatzea bezala definitzen da. Bi koaternioi biderkatzeko, ordea, bektore espazioko behar dugu, oinarriko lau bektoreak behar dira, lau elementu horiek 1, i, j, eta k izenez ezagutzen dira normalean. Eta oinarri hori erabiliz parekatzen dira koaternioien multzoa eta , hau da, edozein koaternioi a1 + bi + cj + dk konbinazio linealaren bidez adieraz daiteke, non a, b, c eta d zenbaki errealak diren eta 1, i, j eta k oinarrizko koaternioiak diren. Oinarri horretako lehen elementua, 1 elementua, elementu neutroa da eta edozein elementuri 1 elementua biderkatzean elementua ez da aldatzen. Koaternioien oinarriko beste elementuen arteko biderketek baldintza hauek betetzen dituzte: . Baldintza hauetatik beste batzuk ondoriozta daitezke, esate baterako, ijk=-1 ekuazioari bi aldeetan k biderkatuz ijkk =-1k lortuko genuke, baina kk =-1 denez, -ij =-k bezala adieraz genezake, edo beste era batera, ij = k. Laburbilduta, biderketa-taula hau betetzen dute: Aipatzekoa da biderketa ez dela trukakorra. Banakortasun legeari esker bi koaternioiren arteko biderketa oinarrizko koaternioien arteko biderketen bidez adieraz daiteke. Biderketaren hedapenak honako espresioa ematen digu: (a1 + b1i + c1j + d1k ).(a2 + b2i + c2j + d2k) = a1 a2 + a1 b2i + a1c2j + a1 d2k + b1a2i + b1b2ii + b1c2ij + b1d2ik + c1a2j + c1b2ji + c1c2jj + c1d2jk + d1a2k + d1b2ki + d1c2kj + d1d2kk Oinarriko elementuen biderketak aplikatuz, a1 a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 + a1 b2i + b1a2i + c1d2i - d1c2i + a1c2j + c1a2j - b1d2j + d1b2j + a1 d2k + d1a2k + b1c2k - c1b2k azkenik, elkartze-legeari esker, biderketari dagokion koaternioia honako konbinazio linealak adierazten du: (a1 a2 - (b1b2 + c1c2 + d1d2)) 1 + (a1 b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2) i + (a1c2 + c1a2 - b1d2 + d1b2) j + (a1 d2 + d1a2 + b1c2 - c1b2) k Hainbatetan koaternioiak adierazteko eskalar bat eta bektore bat erabiltzen dira, alegia, Adierazpide horrekin batuketa eta biderketa honela adieraz daitezke: eta non "·" biderketa eskalarra den eta and "×" bektore biderketa den. q koaternioiaren norma honela definitzen da: Koaternioien biderketak elkartze-legea eta betetzen ditu, baina ez trukatze-legea. Koaternioiek, batuketarekin eta biderketarekin, osatzen duten egitura aljebraikoa da.kin, osatzen duten egitura aljebraikoa da.
, Die Quaternionen (Singular die Quaternion, … Die Quaternionen (Singular die Quaternion, von lateinisch quaternio, -ionis f. „Vierheit“) sind ein Zahlenbereich, der den Zahlenbereich der reellen Zahlen erweitert – ähnlich den komplexen Zahlen und über diese hinaus. Beschrieben (und systematisch fortentwickelt) wurden sie ab 1843 von Sir William Rowan Hamilton; sie werden deshalb auch hamiltonsche Quaternionen oder Hamilton-Zahlen genannt. Olinde Rodrigues entdeckte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton. Trotzdem wird die Menge der Quaternionen meistens mit bezeichnet. Die Quaternionen bilden einen Schiefkörper (oder Divisionsring), bei dem die Multiplikation auch von der Reihenfolge der Faktoren abhängt, also nicht kommutativ ist. Das heißt, es gibt Quaternionen und , bei denen ist.Einige aus dem Reellen bekannte Rechenregeln gelten deshalb für Quaternionen nicht, jedoch gelten Assoziativ- und Distributivgesetz sowie multiplikative Invertierbarkeit, d. h. die Existenz des Inversen zu jedem . Die Quaternionen waren der erste derartige Gegenstand in der Geschichte der Mathematik. Quaternionen erlauben in vielen Fällen eine rechnerisch elegante Beschreibung des dreidimensionalen euklidischen Raumes und anderer Räume, insbesondere im Kontext von Drehungen. Daher verwendet man sie unter anderem in Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen sowie zur Auswertung kristallographischer Texturen. Sie sind aber auch als eigenständiges mathematisches Objekt von Interesse und dienen so zum Beispiel im Beweis des Vier-Quadrate-Satzes.ispiel im Beweis des Vier-Quadrate-Satzes.
, 四元數（英語：Quaternion）是由爱尔兰數學家威廉·盧雲·哈密頓在1843年创 … 四元數（英語：Quaternion）是由爱尔兰數學家威廉·盧雲·哈密頓在1843年创立出的數學概念。通常记为H，或。 從明確地角度而言，四元數是複數的不可交換延伸。如把四元數的集合考慮成多維實數空間的話，四元數則代表著一個四维空间，相對於複數為二维空间。 作为用于描述现实空间的坐标表示方式，人们在复数的基础上创造了四元数并以a+bi+cj+dk的形式说明空间点所在位置。i、j、k作为一种特殊的虚数单位参与运算，并有以下运算规则：i0=j0=k0=1，i2=j2=k2=-1 对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。
, Kvaternion [-'u:n] (senlatin quatérnio, "a … Kvaternion [-'u:n] (senlatin quatérnio, "ansamling av fyra personer eller ting"), element i en utvidgning av de reella talen till ett fyrdimensionellt talområde på ett liknande sätt som komplexa tal är en utvidgning till ett tvådimensionellt, definierat av W.R. Hamilton 1843. Mängden av kvaternioner skrivs H eller ℍ, och utgör en skevkropp samt en algebra över R (de reella talen). samt en algebra över R (de reella talen).
, Os quaterniões (português europeu) ou quat … Os quaterniões (português europeu) ou quatérnios (português brasileiro) são uma extensão do conjunto dos números complexos . Mais precisamente, o conjunto é uma álgebra associativa formada pelos números da forma , onde e , e são unidades imaginárias. Além disso, temos que , de forma que a multiplicação não é comutativa. A soma e o produto entre quaterniões podem ser calculadas usando-se as demais propriedades da álgebra, tais como a regra distributiva e associativa. é chamada de parte escalar do quaternião e é chamada de parte vetorial. Também dizemos que é a parte real e é a parte imaginária do quaternião. Aos números , , e denominamos coeficientes.os números , , e denominamos coeficientes.
, Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) … Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел.Обычно обозначаются символом . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году. Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике — например, при создании трёхмерной графики. Анри Пуанкаре писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал Лобачевский в геометрии»., которую сделал Лобачевский в геометрии».
, En mathématiques, un quaternion est un nom … En mathématiques, un quaternion est un nombre dans un sens généralisé. Les quaternions englobent les nombres réels et complexes dans un système de nombres où la multiplication n'est plus une loi commutative. Les quaternions furent introduits par le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton en 1843. Ils trouvent aujourd'hui des applications en mathématiques, en physique, en informatique et en sciences de l'ingénieur. Les quaternions sont ainsi le premier exemple de nombres hypercomplexes. D'après le théorème de Frobenius ce sont aussi les derniers, au sens où il n'existe pas de système de nombres plus général à moins de renoncer à l'associativité de la multiplication. Mathématiquement, l'ensemble des quaternions est une algèbre associative unifère sur le corps des nombres réels engendrée par trois éléments , et satisfaisant les relations quaternioniques : . C'est une algèbre à division : tout quaternion non nul admet un inverse. La multiplication des quaternions n'étant pas commutative, est le premier exemple de corps non commutatif. Dans une publication sur les octonions, le mathématicien John Baez rappelle une perte progressive de propriétés : les réels sont complets et ordonnés, les complexes ne sont pas ordonnés, mais se comportent « algébriquement bien », les quaternions ne sont plus commutatifs, et les octonions ne sont plus même associatifs.s octonions ne sont plus même associatifs.
, 수학에서 사원수(四元數, 영어: quaternion 쿼터니언[*]) 또는 해밀턴 수(영어: Hamilton number)는 복소수를 확장해 만든 수 체계이다. 네 개의 실수 성분을 가지며, 덧셈과 곱셈의 결합법칙 및 덧셈의 교환법칙을 만족시키지만 곱셈의 교환법칙은 성립하지 않는다.
, Kwaterniony, dawniej czwarki Hamiltona – s … Kwaterniony, dawniej czwarki Hamiltona – struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych, należąca do klasy zbiorów liczb hiperzespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej, jak i stosowanej, zobacz sekcję . Współczesna matematyka traktuje kwaterniony jako czterowymiarową, unormowaną algebrę z dzieleniem nad liczbami rzeczywistymi. Algebra kwaternionów jest oznaczana przez od pierwszej litery nazwiska twórcy. Zajmuje ona specjalne miejsce w algebrze, ponieważ zgodnie z twierdzeniem Frobeniusa jest jednym z trzech skończenie wymiarowych pierścieni z dzieleniem zawierających liczby rzeczywiste jako podpierścień.cych liczby rzeczywiste jako podpierścień.
, Στα μαθηματικά, τα τετραδόνια (quaternions … Στα μαθηματικά, τα τετραδόνια (quaternions) αποτελούν μία μη-αντιμεταθετική επέκταση της θεωρίας των μιγαδικών αριθμών. Παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά από τον Ιρλανδό μαθηματικό Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον το 1843 και εφαρμόστηκαν στη μηχανική μέσα στον τρισδιάστατο χώρο. Η αρχική διατύπωση των εξισώσεων του Maxwell για τον ηλεκτρομαγνητισμό ήταν σε μορφή τετραδονίων. Σήμερα, στις περισσότερες εφαρμογές έχουν αντικατασταθεί από την απλούστερη . Παρόλα αυτά, συναντώνται ακόμη σε εφαρμογές όπως στα τρισδιάστατα γραφικά ηλεκτρονικών υπολογιστών. Η άλγεβρα των τετραδονίων συχνά συμβολίζεται με το γράμμα H (προς τιμήν του Hamilton) ή με το παχύ (Unicode U+210D, ℍ).amilton) ή με το παχύ (Unicode U+210D, ℍ).
, 数学における四元数（しげんすう、英: quaternion）とは、複素数を拡張した数 … 数学における四元数（しげんすう、英: quaternion）とは、複素数を拡張した数体系であり、虚数単位 i, j, k を用いて a + bi + cj + dk と表せる数のことである。ここで、a, b, c, d は実数であり、虚数単位 i, j, k は以下の関係を満たす。 このとき 1, i, j, k は実数体上線型独立である。 四元数は純粋数学のみならず応用数学、特に3Dグラフィクスやコンピュータビジョンにおいてでも用いられる。これはオイラー角や回転行列あるいはそれらに代わる道具などとともに、必要に応じて利用される。 四元数についての最初の記述は、1843年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによってなされ、3次元空間の力学に応用された。 四元数の特徴は、積について非可換であることである。ハミルトンは、四元数を三次元空間内の二つの有向直線の商として定義した。これは二つのベクトルの商と言っても同じである。四元数をスカラーと三次元のベクトルとの和として表すこともできる。 なお、虚数単位i,j,kについても非可換であることが知られている。 現代数学の観点からは、四元数全体からなる集合は、実数体上の4次元結合的ノルム多元体であり、またそれゆえに非可換整域となる。歴史的には四元数の体系は、最初に発見された非可換多元体である。四元数全体の成すこの代数は、ハミルトンに因んで H（あるいは黒板太文字で ℍ）と書かれる。またこの代数を、クリフォード代数 Cℓ0,2(R) ≅ Cℓ03,0(R) として定義することもできる。 この代数 H は解析学において特別な位置を占めている。というのも、フロベニウスの定理に従えば H は実数全体 ℝ を真の部分環として含む有限次元可除環の2種類しかないうちの一つ（もう一つは複素数全体 ℂ）だからである。 従って、単位四元数は三次元球面 S3 上の群構造を選んだものとして考えることができて、群 Spin(3) を与える。これは 2次特殊ユニタリ群 SU(2) に同型、あるいはまた の普遍被覆に同型である。は 2次特殊ユニタリ群 SU(2) に同型、あるいはまた の普遍被覆に同型である。
, In mathematics, the quaternion number syst … In mathematics, the quaternion number system extends the complex numbers. Quaternions were first described by the Irish mathematician William Rowan Hamilton in 1843 and applied to mechanics in three-dimensional space. Hamilton defined a quaternion as the quotient of two directed lines in a three-dimensional space, or, equivalently, as the quotient of two vectors. Multiplication of quaternions is noncommutative. Quaternions are generally represented in the form where a, b, c, and d are real numbers; and i, j, and k are the basic quaternions. Quaternions are used in pure mathematics, but also have practical uses in applied mathematics, particularly for calculations involving three-dimensional rotations, such as in three-dimensional computer graphics, computer vision, and crystallographic texture analysis. They can be used alongside other methods of rotation, such as Euler angles and rotation matrices, or as an alternative to them, depending on the application. In modern mathematical language, quaternions form a four-dimensional associative normed division algebra over the real numbers, and therefore a ring, being both a division ring and a domain. The algebra of quaternions is often denoted by H (for Hamilton), or in blackboard bold by It can also be given by the Clifford algebra classifications In fact, it was the first noncommutative division algebra to be discovered. According to the Frobenius theorem, the algebra is one of only two finite-dimensional division rings containing a proper subring isomorphic to the real numbers; the other being the complex numbers. These rings are also Euclidean Hurwitz algebras, of which the quaternions are the largest associative algebra (and hence the largest ring). Further extending the quaternions yields the non-associative octonions, which is the last normed division algebra over the real numbers. (The sedenions, the extension of the octonions, have zero divisors and so cannot be a normed division algebra.) The unit quaternions can be thought of as a choice of a group structure on the 3-sphere S3 that gives the group Spin(3), which is isomorphic to SU(2) and also to the universal cover of SO(3). and also to the universal cover of SO(3).
|
| http://dbpedia.org/ontology/thumbnail
|
http://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Cayley_Q8_quaternion_multiplication_graph.svg?width=300 +
|
| http://dbpedia.org/ontology/wikiPageExternalLink
|
http://www.stahlke.org/dan/phys-papers/quaternion-paper.pdf +
, https://www.isa-afp.org/entries/Quaternions.html +
, https://zenodo.org/record/1431043 +
, http://www.itk.org/CourseWare/Training/QuaternionsI.pdf +
, https://www.gamedev.net/articles/programming/math-and-physics/quaternion-powers-r1095/ +
, http://www.cs.indiana.edu/~hanson/quatvis/ +
, http://www.unpronounceable.com/julia/ +
, http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/index.htm +
, https://www.gamasutra.com/view/feature/131686/rotating_objects_using_quaternions.php +
, http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Quaternions.html +
, https://quaternionnews.commons.gc.cuny.edu/ +
, https://quaternions.online/ +
, http://nugae.wordpress.com/2007/04/25/on-quaternions-and-octonions/ +
, https://web.archive.org/web/20061105174313/http:/books.elsevier.com/companions/0120884003/vq/index.html +
, http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/QuaternionBib/Links/QuaternionBib_lnk_3.html%7Carchive-url=https:/web.archive.org/web/20060902200454/http:/math.fullerton.edu/mathews/c2003/QuaternionBib/Links/QuaternionBib_lnk_3.html +
, https://web.archive.org/web/20071215235040/http:/gpwiki.org/index.php/OpenGL:Tutorials:Using_Quaternions_to_represent_rotation +
, https://web.archive.org/web/20120204055438/http:/www.itk.org/CourseWare/Training/QuaternionsI.pdf +
, https://webspace.utexas.edu/aam829/1/m/NegativeMath.html%7Carchive-url=https:/web.archive.org/web/20110924161347/https:/webspace.utexas.edu/aam829/1/m/NegativeMath.html +
, http://gpwiki.org/index.php/OpenGL:Tutorials:Using_Quaternions_to_represent_rotation +
, https://web.archive.org/web/20121005003247/http:/www.itk.org/CourseWare/Training/QuaternionsII.pdf +
, https://web.archive.org/web/20140808040037/http:/www.ugcs.caltech.edu/~presto/papers/Quaternions-Britannica.ps.bz2 +
, http://www.maths.nuim.ie/links/hamilton.shtml +
, http://books.elsevier.com/companions/0120884003/vq/index.html +
, https://web.archive.org/web/20050408193941/http:/www.fho-emden.de/~hoffmann/quater12012002.pdf +
, https://books.google.com/books%3Fid=AibpdVNkFDYC +
, https://play.google.com/store/apps/details%3Fid=com.MoritzWillProduction.Quaternions +
, https://archive.org/details/bub_gb_fIRAAAAAIAAJ +
, http://www.j3d.org/matrix_faq/matrfaq_latest.html +
, http://plus.maths.org/content/os/issue32/features/baez/index +
, http://www.ugcs.caltech.edu/~presto/papers/Quaternions-Britannica.ps.bz2 +
, http://world.std.com/~sweetser/quaternions/qindex/qindex.html +
|
| http://dbpedia.org/ontology/wikiPageID
|
51440
|
| http://dbpedia.org/ontology/wikiPageLength
|
94833
|
| http://dbpedia.org/ontology/wikiPageRevisionID
|
1122375113
|
| http://dbpedia.org/ontology/wikiPageWikiLink
|
http://dbpedia.org/resource/Number_system +
, http://dbpedia.org/resource/Pseudo-Euclidean_space +
, http://dbpedia.org/resource/Half-integer +
, http://dbpedia.org/resource/Noncommutative +
, http://dbpedia.org/resource/Plane_%28mathematics%29 +
, http://dbpedia.org/resource/SU%282%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Quaternionic_matrix +
, http://dbpedia.org/resource/N-sphere +
, http://dbpedia.org/resource/Cayley%E2%80%93Dickson_construction +
, http://dbpedia.org/resource/Princeton_University_Press +
, http://dbpedia.org/resource/Schl%C3%A4fli_symbol +
, http://dbpedia.org/resource/Computer_simulation +
, http://dbpedia.org/resource/Homogeneous_coordinates +
, http://dbpedia.org/resource/PostScript +
, http://dbpedia.org/resource/Potential +
, http://dbpedia.org/resource/James_Clerk_Maxwell +
, http://dbpedia.org/resource/Icosahedral_group +
, http://dbpedia.org/resource/Quotient +
, http://dbpedia.org/resource/Point_%28geometry%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Peter_Guthrie_Tait +
, http://dbpedia.org/resource/Bioinformatics +
, http://dbpedia.org/resource/Real_line +
, http://dbpedia.org/resource/London%2C_Edinburgh%2C_and_Dublin_Philosophical_Magazine_and_Journal_of_Science +
, http://dbpedia.org/resource/Pseudovector +
, http://dbpedia.org/resource/Commutative_property +
, http://dbpedia.org/resource/Subring +
, http://dbpedia.org/resource/Unit_quaternion +
, http://dbpedia.org/resource/Vector_space +
, http://dbpedia.org/resource/Rotations_in_4-dimensional_Euclidean_space +
, http://dbpedia.org/resource/Scalar_%28mathematics%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Expression_%28mathematics%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Cross_product +
, http://dbpedia.org/resource/Euler%27s_four-square_identity +
, http://dbpedia.org/resource/Isomorphism +
, http://dbpedia.org/resource/Tetrahedron +
, http://dbpedia.org/resource/Central_simple_algebra +
, http://dbpedia.org/resource/Icosian +
, http://dbpedia.org/resource/Slerp +
, http://dbpedia.org/resource/Transpose +
, http://dbpedia.org/resource/NUI_Maynooth +
, http://dbpedia.org/resource/Point_groups_in_three_dimensions +
, http://dbpedia.org/resource/Homomorphism +
, http://dbpedia.org/resource/Square_root +
, http://dbpedia.org/resource/Versor +
, http://dbpedia.org/resource/Antipodal_points +
, http://dbpedia.org/resource/Matrix_ring +
, http://dbpedia.org/resource/Regular_icosahedron +
, http://dbpedia.org/resource/Royal_Canal +
, http://dbpedia.org/resource/Quaternionic_projective_space +
, http://dbpedia.org/resource/Lorentz_group +
, http://dbpedia.org/resource/Computer_graphics +
, http://dbpedia.org/resource/Kinematics +
, http://dbpedia.org/resource/Quaternions_and_spatial_rotation +
, http://dbpedia.org/resource/Polar_decomposition +
, http://dbpedia.org/resource/Inverse_function +
, http://dbpedia.org/resource/Noncommutative_ring +
, http://dbpedia.org/resource/Union_%28set_theory%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Lattice_%28group%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Commutator +
, http://dbpedia.org/resource/Dual_quaternion +
, http://dbpedia.org/resource/Ferdinand_Georg_Frobenius +
, http://dbpedia.org/resource/Binary_icosahedral_group +
, http://dbpedia.org/resource/Ring_%28mathematics%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Minkowski_space +
, http://dbpedia.org/resource/Sphere +
, http://dbpedia.org/resource/Distributive_property +
, http://dbpedia.org/resource/Lord_Kelvin +
, http://dbpedia.org/resource/Brauer_equivalent +
, http://dbpedia.org/resource/Division_ring +
, http://dbpedia.org/resource/Computer_vision +
, http://dbpedia.org/resource/Imaginary_unit +
, http://dbpedia.org/resource/3D_computer_graphics +
, http://dbpedia.org/resource/Andrew_J._Hanson +
, http://dbpedia.org/resource/Euler_angles +
, http://dbpedia.org/resource/A_History_of_Vector_Analysis +
, http://dbpedia.org/resource/Olinde_Rodrigues +
, http://dbpedia.org/resource/SO%283%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Associative_algebra +
, http://dbpedia.org/resource/Differential_equation +
, http://dbpedia.org/resource/National_Council_of_Teachers_of_Mathematics +
, http://dbpedia.org/resource/Reciprocal_%28mathematics%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Quotient_ring +
, http://dbpedia.org/resource/Bivector +
, http://dbpedia.org/resource/Lorentz_boost +
, http://dbpedia.org/resource/Pauli_matrices +
, http://dbpedia.org/resource/Lawrence_Paulson +
, http://dbpedia.org/resource/Power_%28mathematics%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Multiplicative_identity +
, http://dbpedia.org/resource/Ring_homomorphism +
, http://dbpedia.org/resource/Language_of_mathematics +
, http://dbpedia.org/resource/Rotor_%28mathematics%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Maxwell%27s_equations +
, http://dbpedia.org/resource/Unitary_matrix +
, http://dbpedia.org/resource/Quaternion_Society +
, http://dbpedia.org/resource/Quadratic_form +
, http://dbpedia.org/resource/Hypercomplex_number +
, http://dbpedia.org/resource/Conjugate_transpose +
, http://dbpedia.org/resource/Rigid_body +
, http://dbpedia.org/resource/Associativity +
, http://dbpedia.org/resource/Basis_%28linear_algebra%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Gimbal_lock +
, http://dbpedia.org/resource/Gamma_matrices +
, http://dbpedia.org/resource/Domain_%28ring_theory%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Disphenoidal_288-cell +
, http://dbpedia.org/resource/Extension_field +
, http://dbpedia.org/resource/Runge%E2%80%93Lenz_vector +
, http://dbpedia.org/resource/Spin%283%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Quaternion_variable +
, http://dbpedia.org/resource/File:Inscription_on_Broom_Bridge_%28Dublin%29_regarding_the_discovery_of_Quaternions_multiplication_by_Sir_William_Rowan_Hamilton.jpg +
, http://dbpedia.org/resource/File:Quaternion-multiplication-cayley-3d-with-legend.png +
, http://dbpedia.org/resource/Tensor_of_a_quaternion +
, http://dbpedia.org/resource/File:Cayley_graph_Q8.svg +
, http://dbpedia.org/resource/Algebra +
, http://dbpedia.org/resource/Conformal_map +
, http://dbpedia.org/resource/Ideal_%28ring_theory%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Field_%28mathematics%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Julia_set +
, http://dbpedia.org/resource/Abelian_group +
, http://dbpedia.org/resource/Euler%E2%80%93Rodrigues_parameters +
, http://dbpedia.org/resource/Additive_inverse +
, http://dbpedia.org/resource/File:Quaternion_2.svg +
, http://dbpedia.org/resource/Alexander_Macfarlane_%28mathematician%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Split-quaternion +
, http://dbpedia.org/resource/Spin_%28physics%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Commutative +
, http://dbpedia.org/resource/Angle +
, http://dbpedia.org/resource/Dimension_%28vector_space%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Four-dimensional_space +
, http://dbpedia.org/resource/Longmans%2C_Green_&_Co. +
, http://dbpedia.org/resource/Hermann_von_Helmholtz +
, http://dbpedia.org/resource/Frobenius_theorem_%28real_division_algebras%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Brauer_group +
, http://dbpedia.org/resource/Rotation_matrix +
, http://dbpedia.org/resource/Quaternionic_polytope +
, http://dbpedia.org/resource/Mathematics +
, http://dbpedia.org/resource/American_Mathematical_Society +
, http://dbpedia.org/resource/Carl_Friedrich_Gauss +
, http://dbpedia.org/resource/Polynomial_equation +
, http://dbpedia.org/resource/Quaternionic_manifold +
, http://dbpedia.org/resource/Octonion +
, http://dbpedia.org/resource/Thomas_precession +
, http://dbpedia.org/resource/Hurwitz_quaternion_order +
, http://dbpedia.org/resource/Josiah_Willard_Gibbs +
, http://dbpedia.org/resource/Symbol_%28mathematics%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Change_of_variables +
, http://dbpedia.org/resource/Dot_product +
, http://dbpedia.org/resource/Euclidean_algorithm +
, http://dbpedia.org/resource/Simple_algebra +
, http://dbpedia.org/resource/Hamilton_Walk +
, http://dbpedia.org/resource/Banach_algebra +
, http://dbpedia.org/resource/Category:Composition_algebras +
, http://dbpedia.org/resource/Subalgebra +
, http://dbpedia.org/resource/Category:William_Rowan_Hamilton +
, http://dbpedia.org/resource/William_Edwin_Hamilton +
, http://dbpedia.org/resource/24-cell +
, http://dbpedia.org/resource/600-cell +
, http://dbpedia.org/resource/Special_relativity +
, http://dbpedia.org/resource/Conversion_between_quaternions_and_Euler_angles +
, http://dbpedia.org/resource/Group_representation +
, http://dbpedia.org/resource/Tensor +
, http://dbpedia.org/resource/Biquaternion +
, http://dbpedia.org/resource/Blackboard_bold +
, http://dbpedia.org/resource/Texture_%28crystalline%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Center_%28ring_theory%29 +
, http://dbpedia.org/resource/John_Baez +
, http://dbpedia.org/resource/Split-biquaternion +
, http://dbpedia.org/resource/Octahedron +
, http://dbpedia.org/resource/Category:Quaternions +
, http://dbpedia.org/resource/University_of_Dublin +
, http://dbpedia.org/resource/Classical_Hamiltonian_quaternions +
, http://dbpedia.org/resource/File:Cayley_Q8_quaternion_multiplication_graph.svg +
, http://dbpedia.org/resource/Zero_divisor +
, http://dbpedia.org/resource/Normed_division_algebra +
, http://dbpedia.org/resource/Dual-complex_number +
, http://dbpedia.org/resource/Ian_R._Porteous +
, http://dbpedia.org/resource/Sedenions +
, http://dbpedia.org/resource/Unit_sphere +
, http://dbpedia.org/resource/Geometric_algebra +
, http://dbpedia.org/resource/Robotics +
, http://dbpedia.org/resource/Pure_mathematics +
, http://dbpedia.org/resource/Combinatorial_design +
, http://dbpedia.org/resource/Vector_%28geometry%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Mechanics +
, http://dbpedia.org/resource/Conjugate_%28algebra%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Ludwik_Silberstein +
, http://dbpedia.org/resource/Geometry +
, http://dbpedia.org/resource/Orbital_mechanics +
, http://dbpedia.org/resource/L%C3%A9n%C3%A1rt_sphere +
, http://dbpedia.org/resource/Normed_algebra +
, http://dbpedia.org/resource/Signal_processing +
, http://dbpedia.org/resource/Spacetime +
, http://dbpedia.org/resource/Multiplicative_inverse +
, http://dbpedia.org/resource/Composition_algebra +
, http://dbpedia.org/resource/Integer +
, http://dbpedia.org/resource/Covering_space +
, http://dbpedia.org/resource/Control_theory +
, http://dbpedia.org/resource/Identity_element +
, http://dbpedia.org/resource/Norm_%28mathematics%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Group_%28mathematics%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Hurwitz%27s_theorem_%28composition_algebras%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Holt%2C_Rinehart_and_Winston +
, http://dbpedia.org/resource/Hurwitz_quaternion +
, http://dbpedia.org/resource/Artin%E2%80%93Wedderburn_theorem +
, http://dbpedia.org/resource/Universal_cover +
, http://dbpedia.org/resource/Distributive_law +
, http://dbpedia.org/resource/Plate_trick +
, http://dbpedia.org/resource/Applied_mathematics +
, http://dbpedia.org/resource/Elliptic_geometry +
, http://dbpedia.org/resource/Classification_of_Clifford_algebras +
, http://dbpedia.org/resource/Royal_Irish_Academy +
, http://dbpedia.org/resource/Mandelbrot_set +
, http://dbpedia.org/resource/Conjugation_%28group_theory%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Metric_space +
, http://dbpedia.org/resource/Attitude_control +
, http://dbpedia.org/resource/Defence_Research_and_Development_Canada +
, http://dbpedia.org/resource/A_Treatise_on_Electricity_and_Magnetism +
, http://dbpedia.org/resource/Physics +
, http://dbpedia.org/resource/Lie_group +
, http://dbpedia.org/resource/Abstract_algebra +
, http://dbpedia.org/resource/Vector_analysis +
, http://dbpedia.org/resource/Associative_property +
, http://dbpedia.org/resource/Matrix_multiplication +
, http://dbpedia.org/resource/Number_theory +
, http://dbpedia.org/resource/Real_number +
, http://dbpedia.org/resource/Oliver_Heaviside +
, http://dbpedia.org/resource/Charles_Jasper_Joly +
, http://dbpedia.org/resource/Conformal_geometric_algebra +
, http://dbpedia.org/resource/Quantum_mechanics +
, http://dbpedia.org/resource/Broom_Bridge +
, http://dbpedia.org/resource/Non-associative_algebra +
, http://dbpedia.org/resource/Dunsink_Observatory +
, http://dbpedia.org/resource/Space +
, http://dbpedia.org/resource/Algebra_homomorphism +
, http://dbpedia.org/resource/Orthogonal_matrix +
, http://dbpedia.org/resource/Determinant +
, http://dbpedia.org/resource/Clifford_algebra +
, http://dbpedia.org/resource/Spinors +
, http://dbpedia.org/resource/Division_algebra +
, http://dbpedia.org/resource/Complex_variable +
, http://dbpedia.org/resource/Exterior_algebra +
, http://dbpedia.org/resource/Continuous_function_%28topology%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Crystallography +
, http://dbpedia.org/resource/Arc_%28geometry%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Space_group +
, http://dbpedia.org/resource/Injective_function +
, http://dbpedia.org/resource/Orthogonal_group +
, http://dbpedia.org/resource/Tesseract +
, http://dbpedia.org/resource/Hyperbolic_quaternion +
, http://dbpedia.org/resource/Dublin +
, http://dbpedia.org/resource/Molecular_dynamics +
, http://dbpedia.org/resource/Matrix_%28mathematics%29 +
, http://dbpedia.org/resource/3-sphere +
, http://dbpedia.org/resource/William_Rowan_Hamilton +
, http://dbpedia.org/resource/Complex_number +
, http://dbpedia.org/resource/Involution_%28mathematics%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Group_ring +
, http://dbpedia.org/resource/Group_isomorphism +
, http://dbpedia.org/resource/Three-dimensional_space +
, http://dbpedia.org/resource/Quaternion_group +
, http://dbpedia.org/resource/Image_%28mathematics%29 +
, http://dbpedia.org/resource/Conjugacy_class +
, http://dbpedia.org/resource/Great-circle_distance +
, http://dbpedia.org/resource/Directed_line_segment +
, http://dbpedia.org/resource/File:Quaternion_Julia_x=-0%2C75_y=-0%2C14.jpg +
, http://dbpedia.org/resource/Encyclop%C3%A6dia_Britannica +
|
| http://dbpedia.org/property/author
|
http://dbpedia.org/resource/Lord_Kelvin +
, http://dbpedia.org/resource/Oliver_Heaviside +
, Ludwik Silberstein
, William Rowan Hamilton
, Simon L. Altmann
|
| http://dbpedia.org/property/id
|
p/q076770
|
| http://dbpedia.org/property/text
|
Quaternions came from Hamilton after his really good work had been done; and, though beautifully ingenious, have been an unmixed evil to those who have touched them in any way, including Clerk Maxwell.
, Time is said to have only one dimension, a … Time is said to have only one dimension, and space to have three dimensions. ... The mathematical quaternion partakes of both these elements; in technical language it may be said to be "time plus space", or "space plus time": and in this sense it has, or at least involves a reference to, four dimensions. ... And how the One of Time, of Space the Three, Might in the Chain of Symbols girdled be. Might in the Chain of Symbols girdled be.
, I regard it as an inelegance, or imperfection, in quaternions, or rather in the state to which it has been hitherto unfolded, whenever it becomes or seems to become necessary to have recourse to etc.
, Neither matrices nor quaternions and ordin … Neither matrices nor quaternions and ordinary vectors were banished from these ten [additional] chapters. For, in spite of the uncontested power of the modern Tensor Calculus, those older mathematical languages continue, in my opinion, to offer conspicuous advantages in the restricted field of special relativity. Moreover, in science as well as in everyday life, the mastery of more than one language is also precious, as it broadens our views, is conducive to criticism with regard to, and guards against hypostasy [weak-foundation] of, the matter expressed by words or mathematical symbols.xpressed by words or mathematical symbols.
, ... quaternions appear to exude an air of … ... quaternions appear to exude an air of nineteenth century decay, as a rather unsuccessful species in the struggle-for-life of mathematical ideas. Mathematicians, admittedly, still keep a warm place in their hearts for the remarkable algebraic properties of quaternions but, alas, such enthusiasm means little to the harder-headed physical scientist.e to the harder-headed physical scientist.
, I came later to see that, as far as the ve … I came later to see that, as far as the vector analysis I required was concerned, the quaternion was not only not required, but was a positive evil of no inconsiderable magnitude; and that by its avoidance the establishment of vector analysis was made quite simple and its working also simplified, and that it could be conveniently harmonised with ordinary Cartesian work.y harmonised with ordinary Cartesian work.
|
| http://dbpedia.org/property/title
|
Quaternion
|
| http://dbpedia.org/property/wikiPageUsesTemplate
|
http://dbpedia.org/resource/Template:Bi +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Cite_web +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Div_col +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Div_col_end +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Thinsp +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Main +
, http://dbpedia.org/resource/Template:About +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Springer +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Bulleted_list +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Cite_book +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Mvar +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Cite_arXiv +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Refend +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Refbegin +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Nbsp +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Green +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Red +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Full_citation_needed +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Efn +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Citation_needed +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Wikibooks +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Math +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Mset +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Number_systems +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Notelist +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Wikiquote +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Cite_EB1911 +
, http://dbpedia.org/resource/Template:As_of +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Reflist +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Short_description +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Blue +
, http://dbpedia.org/resource/Template:= +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Blockquote +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Authority_control +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Norm +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Sfrac +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Font_color +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Citation +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Unreferenced_section +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Commons_category-inline +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Overline +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Cite_journal +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Wiktionary +
, http://dbpedia.org/resource/Template:Further +
|
| http://purl.org/dc/terms/subject
|
http://dbpedia.org/resource/Category:William_Rowan_Hamilton +
, http://dbpedia.org/resource/Category:Composition_algebras +
, http://dbpedia.org/resource/Category:Quaternions +
|
| http://www.w3.org/ns/prov#wasDerivedFrom
|
http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion?oldid=1122375113&ns=0 +
|
| http://xmlns.com/foaf/0.1/depiction
|
http://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Cayley_Q8_quaternion_multiplication_graph.svg +
, http://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Quaternion-multiplication-cayley-3d-with-legend.png +
, http://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Quaternion_2.svg +
, http://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Cayley_graph_Q8.svg +
, http://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/-0%2C14.jpg +
, http://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Inscription_on_Broom_Bridge_%28Dublin%29_regarding_the_discovery_of_Quaternions_multiplication_by_Sir_William_Rowan_Hamilton.jpg +
|
| http://xmlns.com/foaf/0.1/isPrimaryTopicOf
|
http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion +
|
| owl:sameAs |
http://ko.dbpedia.org/resource/%EC%82%AC%EC%9B%90%EC%88%98 +
, http://mk.dbpedia.org/resource/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%BE%D0%BD +
, http://zh.dbpedia.org/resource/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B8 +
, http://uk.dbpedia.org/resource/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%96%D0%BE%D0%BD%D0%B8 +
, http://scn.dbpedia.org/resource/Quatirnioni +
, http://it.dbpedia.org/resource/Quaternione +
, http://cv.dbpedia.org/resource/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%BE%D0%BD +
, http://es.dbpedia.org/resource/Cuaterni%C3%B3n +
, http://sk.dbpedia.org/resource/Kvaterni%C3%B3n +
, http://sh.dbpedia.org/resource/Kvaternion +
, http://lt.dbpedia.org/resource/Kvaternijonas +
, http://ar.dbpedia.org/resource/%D9%83%D9%88%D8%A7%D8%AA%D9%8A%D8%B1%D9%86%D9%8A%D9%88%D9%86 +
, http://pl.dbpedia.org/resource/Kwaterniony +
, http://eu.dbpedia.org/resource/Koaternioi +
, http://ga.dbpedia.org/resource/Ceathairn%C3%ADn +
, http://als.dbpedia.org/resource/Quaternion +
, http://sl.dbpedia.org/resource/Kvaternion +
, http://kk.dbpedia.org/resource/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%BE%D0%BD +
, http://lmo.dbpedia.org/resource/Quaternion +
, http://pms.dbpedia.org/resource/Quaternion +
, http://hr.dbpedia.org/resource/Kvaternion +
, http://ca.dbpedia.org/resource/Quaterni%C3%B3 +
, http://he.dbpedia.org/resource/%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%A7%D7%95%D7%95%D7%98%D7%A8%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%A9%D7%9C_%D7%94%D7%9E%D7%99%D7%9C%D7%98%D7%95%D7%9F +
, http://nn.dbpedia.org/resource/Kvaternion +
, http://pa.dbpedia.org/resource/%E0%A8%95%E0%A9%81%E0%A8%86%E0%A8%9F%E0%A9%8D%E0%A8%B0%E0%A8%A8%E0%A9%80%E0%A8%94%E0%A8%A8 +
, http://af.dbpedia.org/resource/Kwaternioon +
, http://fa.dbpedia.org/resource/%DA%86%D9%87%D8%A7%D8%B1%DA%AF%D8%A7%D9%86 +
, http://tr.dbpedia.org/resource/D%C3%B6rdey +
, http://hy.dbpedia.org/resource/%D5%94%D5%BE%D5%A1%D5%BF%D5%A5%D6%80%D5%B6%D5%AB%D5%B8%D5%B6%D5%B6%D5%A5%D6%80 +
, http://sv.dbpedia.org/resource/Kvaternion +
, http://da.dbpedia.org/resource/Kvaternioner +
, http://d-nb.info/gnd/4176653-2 +
, http://ro.dbpedia.org/resource/Cuaternion +
, http://cs.dbpedia.org/resource/Kvaternion +
, http://de.dbpedia.org/resource/Quaternion +
, http://nl.dbpedia.org/resource/Quaternion +
, http://no.dbpedia.org/resource/Kvaternion +
, http://th.dbpedia.org/resource/%E0%B8%84%E0%B8%A7%E0%B8%AD%E0%B9%80%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B9%80%E0%B8%99%E0%B8%B5%E0%B8%A2%E0%B8%99 +
, http://is.dbpedia.org/resource/Fert%C3%B6lur +
, https://global.dbpedia.org/id/gvCY +
, http://uz.dbpedia.org/resource/Kvaternion +
, http://ia.dbpedia.org/resource/Quaternion +
, http://rdf.freebase.com/ns/m.0dkqr +
, http://la.dbpedia.org/resource/Numerus_quaternus +
, http://pt.dbpedia.org/resource/Quaterni%C3%A3o +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Quaternion +
, http://hu.dbpedia.org/resource/Kvaterni%C3%B3k +
, http://mn.dbpedia.org/resource/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%BE%D0%BD +
, http://simple.dbpedia.org/resource/Quaternion +
, http://ru.dbpedia.org/resource/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%BE%D0%BD +
, http://el.dbpedia.org/resource/%CE%A4%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%B1%CE%B4%CF%8C%CE%BD%CE%B9%CE%BF +
, http://www.wikidata.org/entity/Q173853 +
, http://fi.dbpedia.org/resource/Kvaternio +
, http://sr.dbpedia.org/resource/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%BE%D0%BD +
, http://yi.dbpedia.org/resource/%D7%A7%D7%95%D7%95%D7%90%D7%98%D7%A2%D7%A8%D7%A0%D7%99%D7%90%D7%9F +
, http://id.dbpedia.org/resource/Kuaternion +
, http://ja.dbpedia.org/resource/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0 +
, http://dbpedia.org/resource/Quaternion +
, http://sco.dbpedia.org/resource/Quaternion +
, http://bg.dbpedia.org/resource/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%BE%D0%BD +
|
| rdfs:comment |
Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) … Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел.Обычно обозначаются символом . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году. Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике — например, при создании трёхмерной графики.например, при создании трёхмерной графики.
, In matematica, i quaternioni sono entità i … In matematica, i quaternioni sono entità introdotte da William Rowan Hamilton nel 1843 come estensioni dei numeri complessi. Un quaternione è un oggetto formale del tipo dove sono numeri reali e sono dei simboli che si comportano in modo simile all'unità immaginaria dei numeri complessi. I quaternioni formano un corpo: soddisfano quindi tutte le proprietà usuali dei campi, quali i numeri reali o complessi, tranne la proprietà commutativa del prodotto. Le estensioni dei quaternioni, quali gli ottetti e i sedenioni, non hanno neppure la proprietà associativa.on hanno neppure la proprietà associativa.
, Kvaternion [-'u:n] (senlatin quatérnio, "a … Kvaternion [-'u:n] (senlatin quatérnio, "ansamling av fyra personer eller ting"), element i en utvidgning av de reella talen till ett fyrdimensionellt talområde på ett liknande sätt som komplexa tal är en utvidgning till ett tvådimensionellt, definierat av W.R. Hamilton 1843. Mängden av kvaternioner skrivs H eller ℍ, och utgör en skevkropp samt en algebra över R (de reella talen). samt en algebra över R (de reella talen).
, Los cuaterniones (también llamados cuatern … Los cuaterniones (también llamados cuaternios) son una extensión de los números reales, similar a la de los números complejos. Mientras que los números complejos son una extensión de los reales por la adición de la unidad imaginaria i, tal que , los cuaterniones son una extensión generada de manera análoga añadiendo las unidades imaginarias i, j y k a los números reales tal que: , como se muestra mediante la tabla de multiplicación de Cayley. Los elementos 1, i, j y k son los componentes de la base de los cuaterniones considerado como un ℝ-espacio vectorial de dimensión 4.omo un ℝ-espacio vectorial de dimensión 4.
, Koaternioiak zenbaki konplexuen hedadura d … Koaternioiak zenbaki konplexuen hedadura dira. Koaternioien multzoak, multzoak, lau dimentsioetako bektore espazioa osatzen du, multzo hau multzoarekin identifika daiteke, alegia, errealen gaineko 4 dimentsioetako bektore espazioa osatzen dute. Bi elementuren arteko batuketaren definizioa espazioko elementuen batuketaren bera da. Koaternioi bati zenbaki erreal bat biderkatzeko ere espazioko elementuei eskalarra biderkatzea bezala definitzen da. Bi koaternioi biderkatzeko, ordea, bektore espazioko behar dugu, oinarriko lau bektoreak behar dira, lau elementu horiek 1, i, j, eta k izenez ezagutzen dira normalean. Eta oinarri hori erabiliz parekatzen dira koaternioien multzoa eta , hau da, edozein koaternioi a1 + bi + cj + dk konbinazio linealaren bidez adieraz daiteke, non a, b, c eta d bidez adieraz daiteke, non a, b, c eta d
, De quaternionen zijn een uitbreiding van d … De quaternionen zijn een uitbreiding van de complexe getallen. Zoals de complexe getallen een tweedimensionale uitbreiding zijn van de reële getallen, zo zijn de quaternionen een tweedimensionale uitbreiding van de complexe getallen, en daarmee een vierdimensionale uitbreiding van de reële getallen. Quaternionen werden in 1843 door de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton geïntroduceerd voor toepassing in de mechanica. Naar hem wordt de verzameling van de quaternionen wel aangeduid met het symbool .aternionen wel aangeduid met het symbool .
, 수학에서 사원수(四元數, 영어: quaternion 쿼터니언[*]) 또는 해밀턴 수(영어: Hamilton number)는 복소수를 확장해 만든 수 체계이다. 네 개의 실수 성분을 가지며, 덧셈과 곱셈의 결합법칙 및 덧셈의 교환법칙을 만족시키지만 곱셈의 교환법칙은 성립하지 않는다.
, Στα μαθηματικά, τα τετραδόνια (quaternions … Στα μαθηματικά, τα τετραδόνια (quaternions) αποτελούν μία μη-αντιμεταθετική επέκταση της θεωρίας των μιγαδικών αριθμών. Παρουσιάστηκαν για πρώτη φορά από τον Ιρλανδό μαθηματικό Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον το 1843 και εφαρμόστηκαν στη μηχανική μέσα στον τρισδιάστατο χώρο. Η αρχική διατύπωση των εξισώσεων του Maxwell για τον ηλεκτρομαγνητισμό ήταν σε μορφή τετραδονίων. Σήμερα, στις περισσότερες εφαρμογές έχουν αντικατασταθεί από την απλούστερη . Παρόλα αυτά, συναντώνται ακόμη σε εφαρμογές όπως στα τρισδιάστατα γραφικά ηλεκτρονικών υπολογιστών. Η άλγεβρα των τετραδονίων συχνά συμβολίζεται με το γράμμα H (προς τιμήν του Hamilton) ή με το παχύ (Unicode U+210D, ℍ).amilton) ή με το παχύ (Unicode U+210D, ℍ).
, San ailgéabar, is éard is ceathairníon (io … San ailgéabar, is éard is ceathairníon (iolra ceathairnín) ann ná eagar ceithre réaduimhir, ordaithe de réir dlíthe áirithe ceaptha. Léirítear na dlíthe ceaptha mar seo:
*
* . Is sampla é d'ailgéabar neamhchomhalartach de bhrí nach bhfuil an t-iolrú malartach. Tugadh an t-ainm “na ceathairnín” ar an ailgéabar seo mar gheall ar an ceathair uimhir i ngach ord. Bhain na fisiceoirí an chuid choimpléascach amach as chun oibriú le veicteoirí.ascach amach as chun oibriú le veicteoirí.
, Dalam matematika, Kuaternion adalah perlua … Dalam matematika, Kuaternion adalah perluasan dari bilangan-bilangan kompleks yang tidak komutatif, dan diterapkan dalam mekanika tiga dimensi. Kuaternion ditemukan oleh ahli matematika dan astronomi Inggris, William Rowan Hamilton, yang memperpanjang aritmetika kompleks nomor ke kuaternion.g aritmetika kompleks nomor ke kuaternion.
, En mathématiques, un quaternion est un nom … En mathématiques, un quaternion est un nombre dans un sens généralisé. Les quaternions englobent les nombres réels et complexes dans un système de nombres où la multiplication n'est plus une loi commutative. Les quaternions furent introduits par le mathématicien irlandais William Rowan Hamilton en 1843. Ils trouvent aujourd'hui des applications en mathématiques, en physique, en informatique et en sciences de l'ingénieur. .ormatique et en sciences de l'ingénieur. .
, V matematice jsou kvaterniony (z lat. quaternion, čtveřice) nekomutativní rozšíření oboru komplexních čísel. Lze je definovat jako uspořádané čtveřice reálných čísel se speciálně definovanými operacemi sčítání a násobení.
, Os quaterniões (português europeu) ou quat … Os quaterniões (português europeu) ou quatérnios (português brasileiro) são uma extensão do conjunto dos números complexos . Mais precisamente, o conjunto é uma álgebra associativa formada pelos números da forma , onde e , e são unidades imaginárias. Além disso, temos que , de forma que a multiplicação não é comutativa. A soma e o produto entre quaterniões podem ser calculadas usando-se as demais propriedades da álgebra, tais como a regra distributiva e associativa.s como a regra distributiva e associativa.
, Els quaternions són una generalització del … Els quaternions són una generalització dels nombres complexos, de tal manera que si un nombre complex defineix dues dimensions afegint la component i (cal recordar que ), un quaternió defineix quatre dimensions afegint les components i,j,k, de manera que: Es pot resumir en aquesta taula de multiplicació: Un quaternió, doncs, és un nombre de la forma: z = a + bi + cj + dk, on els 4 nombres reals a, b, c i d defineixen únicament el quaternió z. El valor absolut del quaternió z es defineix com a:absolut del quaternió z es defineix com a:
, Kwaterniony, dawniej czwarki Hamiltona – s … Kwaterniony, dawniej czwarki Hamiltona – struktura algebraiczna (liczby) będąca rozszerzeniem ciała liczb zespolonych, należąca do klasy zbiorów liczb hiperzespolonych. Kwaterniony zostały wprowadzone przez irlandzkiego matematyka Williama Hamiltona w 1843 i służyły opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej. Początkowo kwaterniony były uważane za twór patologiczny, ponieważ nie spełniały reguły przemienności (należy mieć na uwadze, iż kwaterniony pojawiły się przed macierzami). Kwaterniony znajdują zastosowanie tak w matematyce teoretycznej, jak i stosowanej, zobacz sekcję .tycznej, jak i stosowanej, zobacz sekcję .
, Кватерніо́н — чотиривимірне гіперкомплексн … Кватерніо́н — чотиривимірне гіперкомплексне число без дільників нуля. Уперше описане В. Р. Гамільтоном у 1843 році. Кватерніони використовуються як у теоретичній, так і у прикладній математиці, зокрема для розрахунку поворотів у просторі у тривимірній графіці та машинному зорі.і у тривимірній графіці та машинному зорі.
, الكواتيرنيون (بالإنجليزية: Quaternion) في … الكواتيرنيون (بالإنجليزية: Quaternion) في مجال الرياضيات هو امتداد عملية غير تبديلية للأعداد المركبة. وصَف الكواتيرنيون السير ويليام هاميلتون في عام1843 وطبقهم على الميكانيك في الفضاء ثلاثي الأبعاد. في البداية تم اعتبار الكواتيرنيون عنصرا غير مفيد لأنها تخالف قانون العملية التبديلية ab = ba. على الرغم أنه تم الاستعاضة عنهم في كثير من التطبيقات بالأشعة والمصفوفات، إلا ما زال يوجد لهم العديد من الاستخدامات في الرياضيات النظرية والتطبيقية، بشكل خاص الحسابات المتعلقة بالدوران ثلاثي الأبعاد كما في الرسوميات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد.كما في الرسوميات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد.
, 数学における四元数（しげんすう、英: quaternion）とは、複素数を拡張した数 … 数学における四元数（しげんすう、英: quaternion）とは、複素数を拡張した数体系であり、虚数単位 i, j, k を用いて a + bi + cj + dk と表せる数のことである。ここで、a, b, c, d は実数であり、虚数単位 i, j, k は以下の関係を満たす。 このとき 1, i, j, k は実数体上線型独立である。 四元数は純粋数学のみならず応用数学、特に3Dグラフィクスやコンピュータビジョンにおいてでも用いられる。これはオイラー角や回転行列あるいはそれらに代わる道具などとともに、必要に応じて利用される。 四元数についての最初の記述は、1843年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによってなされ、3次元空間の力学に応用された。 四元数の特徴は、積について非可換であることである。ハミルトンは、四元数を三次元空間内の二つの有向直線の商として定義した。これは二つのベクトルの商と言っても同じである。四元数をスカラーと三次元のベクトルとの和として表すこともできる。 なお、虚数単位i,j,kについても非可換であることが知られている。 この代数 H は解析学において特別な位置を占めている。というのも、フロベニウスの定理に従えば H は実数全体 ℝ を真の部分環として含む有限次元可除環の2種類しかないうちの一つ（もう一つは複素数全体 ℂ）だからである。む有限次元可除環の2種類しかないうちの一つ（もう一つは複素数全体 ℂ）だからである。
, 四元數（英語：Quaternion）是由爱尔兰數學家威廉·盧雲·哈密頓在1843年创 … 四元數（英語：Quaternion）是由爱尔兰數學家威廉·盧雲·哈密頓在1843年创立出的數學概念。通常记为H，或。 從明確地角度而言，四元數是複數的不可交換延伸。如把四元數的集合考慮成多維實數空間的話，四元數則代表著一個四维空间，相對於複數為二维空间。 作为用于描述现实空间的坐标表示方式，人们在复数的基础上创造了四元数并以a+bi+cj+dk的形式说明空间点所在位置。i、j、k作为一种特殊的虚数单位参与运算，并有以下运算规则：i0=j0=k0=1，i2=j2=k2=-1 对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。
, In mathematics, the quaternion number syst … In mathematics, the quaternion number system extends the complex numbers. Quaternions were first described by the Irish mathematician William Rowan Hamilton in 1843 and applied to mechanics in three-dimensional space. Hamilton defined a quaternion as the quotient of two directed lines in a three-dimensional space, or, equivalently, as the quotient of two vectors. Multiplication of quaternions is noncommutative. Quaternions are generally represented in the form where a, b, c, and d are real numbers; and i, j, and k are the basic quaternions.and i, j, and k are the basic quaternions.
, Die Quaternionen (Singular die Quaternion, … Die Quaternionen (Singular die Quaternion, von lateinisch quaternio, -ionis f. „Vierheit“) sind ein Zahlenbereich, der den Zahlenbereich der reellen Zahlen erweitert – ähnlich den komplexen Zahlen und über diese hinaus. Beschrieben (und systematisch fortentwickelt) wurden sie ab 1843 von Sir William Rowan Hamilton; sie werden deshalb auch hamiltonsche Quaternionen oder Hamilton-Zahlen genannt. Olinde Rodrigues entdeckte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton. Trotzdem wird die Menge der Quaternionen meistens mit bezeichnet. der Quaternionen meistens mit bezeichnet.
|
| rdfs:label |
四元數
, Quaternione
, Quaternião
, 사원수
, Quaternió
, Kvaternion
, Quaternion
, Τετραδόνιο
, Kuaternion
, Кватернион
, 四元数
, Cuaternión
, Kwaterniony
, Koaternioi
, Ceathairnín
, كواتيرنيون
, Кватерніони
|
