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In mathematics and computer science, compu … In mathematics and computer science, computer algebra, also called symbolic computation or algebraic computation, is a scientific area that refers to the study and development of algorithms and software for manipulating mathematical expressions and other mathematical objects. Although computer algebra could be considered a subfield of scientific computing, they are generally considered as distinct fields because scientific computing is usually based on numerical computation with approximate floating point numbers, while symbolic computation emphasizes exact computation with expressions containing variables that have no given value and are manipulated as symbols. Software applications that perform symbolic calculations are called computer algebra systems, with the term system alluding to the complexity of the main applications that include, at least, a method to represent mathematical data in a computer, a user programming language (usually different from the language used for the implementation), a dedicated memory manager, a user interface for the input/output of mathematical expressions, a large set of routines to perform usual operations, like simplification of expressions, differentiation using chain rule, polynomial factorization, indefinite integration, etc. Computer algebra is widely used to experiment in mathematics and to design the formulas that are used in numerical programs. It is also used for complete scientific computations, when purely numerical methods fail, as in public key cryptography, or for some non-linear problems.tography, or for some non-linear problems.
, Символьные вычисления — это преобразования … Символьные вычисления — это преобразования и работа с математическими равенствами и формулами как с последовательностью символов. Они отличаются от численных расчётов, которые оперируют приближёнными численными значениями, стоящими за математическими выражениями. Системы символьных вычислений (их так же называют системами компьютерной алгебры) могут быть использованы для символьного интегрирования и , подстановки одних выражений в другие, упрощения формул и т. д. Компьютерная алгебра (в отличие от численных методов) занимается разработкой и реализацией аналитических методов решения математических задач на компьютере и предполагает, что исходные данные, как и результаты решения, сформулированы в аналитическом (символьном) виде. При анализе математической модели результатом могут быть общие и частные аналитические решения сформулированной математической задачи и их интерпретации. Аналитические решения чаще удаётся получить для наиболее грубых (простых) моделей, реже — для более точных, сложных (нужно использовать численные методы, позволяющие получить частные численные решения многих задач).ь частные численные решения многих задач).
, الحساب الرمزي أو الحساب الجبري ينتج من است … الحساب الرمزي أو الحساب الجبري ينتج من استخدام الآلات، مثل الحاسوب، لمعالجة معادلات رياضية والتعابير الرمزية، بدلا من التلاعب بالكميات العديدية التي تمثلها هذة الرموز. يمكن استخدام هذا النظام لتحقيق التكامل الرمزي أو التمايز، واستبدال أحد التعابير بأخر، وتبسيط التعبير، الخ. يشار أحيانا لحساب الرمزي التلاعب الرمزي، تجهيز رمزي، ترميز رياضي، أو الجبر الرمزي، لكن قد تشير هذه المصطلحات أيضا إلى التلاعب الغير حسابية. التطبيقات البرمجية التي تقوم بالحساب الرمزي يطلق عليها أنظمة الجبر الحاسوبي.اب الرمزي يطلق عليها أنظمة الجبر الحاسوبي.
, In Computeralgebrasystemen (CAS) bedeutet … In Computeralgebrasystemen (CAS) bedeutet der Ausdruck symbolische Mathematik, dass Operation und Kalkulation von mathematischen Ausdrücken mit Variablen auf Computern ausgeführt werden. Umgangssprachlich wird dies als „Rechnen mit Buchstaben“ bezeichnet. Viele CAS und einige programmierbare Taschenrechner (z. B. der HP-48) sind in der Lage, symbolische Formelmanipulationen durchzuführen. Damit sind Umformungen und Berechnungen von Termen und Gleichungen gemeint wie z. B. faktorisieren, ausmultiplizieren, die Polynomdivision sowie das Lösen von Gleichungen. Im Gegensatz zur numerischen Mathematik wird in der symbolischen Mathematik ausschließlich mit exakten Ausdrücken gearbeitet. Vorteil der symbolischen Mathematik ist die universelle Einsetzbarkeit des Ergebnisses. Ein Nachteil ist, dass bei vielen Problemen eine symbolische Lösung sehr aufwändig zu berechnen oder gar nicht möglich ist. Ein Beispiel des CAS Maple zeigt das Lösen eines symbolischen Ausdrucks der sog. Mitternachtsformel: >solve(a*x^2+b*x+c=0,x);rnachtsformel: >solve(a*x^2+b*x+c=0,x);
, Obliczenia symboliczne – obszar odnoszący … Obliczenia symboliczne – obszar odnoszący się do badania i rozwoju algorytmów i programów komputerowych do manipulowania wyrażeniami matematycznymi. Ogólnie obliczenia możemy wykonywać na liczbach i na symbolach. Wykonując obliczenia na liczbach mamy do czynienia z obliczeniami numerycznymi. Przykłady obliczeń symbolicznych:
* uproszczenie równania x3 + 4·x - 6·x daje wynik x3 - 2·x
* obliczenie całki nieoznaczonej ∫ x dx – wynikiem jest x2/2 + C Czym różnią się obliczenia symboliczne od obliczeń numerycznych w przypadku całkowania i rozwiązywania równań różniczkowych?
* W wyniku obliczeń symbolicznych jako rozwiązanie otrzymujemy funkcje w postaci symbolicznej, a w wyniku obliczeń numerycznych otrzymujemy przybliżone wartości funkcji dla pewnych wybranych punktów z jej dziedziny. Znane programy komputerowe do obliczeń symbolicznych to:
* Mathematica – opracowana przez Stephena Wolframa.
* Maple – firmy Waterloo Maple Inc.
* Matlab – firmy MathWorks. Program, którego domeną nie są obliczenia symboliczne, ale obliczenia numeryczne oparte na macierzach. Posiada dodatkowy moduł do obliczeń symbolicznych (Symbolic Math Toolbox) opracowany przez producentów Maple'a.
* MuPAD – opracowany na Uniwersytecie w Paderborn w Niemczech nieodpłatny, dla instytucji niekomercyjnych.
* MAXIMA – na licencji GPL.
* Derive – firmy Texas Instruments.
* Mathcad – firmy Mathsoft.
* Sage – na licencji GPL. Programy z grupy obliczeń symbolicznych nazywane są programami algebry komputerowej (z ang. Computer Algebra System – CAS). Według części źródeł terminy obliczenia symboliczne i algebra komputerowa są tożsame.boliczne i algebra komputerowa są tożsame.
, Symbolische wiskunde of algebraïsche berek … Symbolische wiskunde of algebraïsche berekening heeft betrekking op het gebruik computers om wiskundige vergelijkingen op te lossen en om met uitdrukkingen in symbolische vorm te kunnen rekenen. Met computeralgebra CAS is dit mogelijk. Met een CAS-programma is het bijvoorbeeld mogelijk de primitieve van een gegeven functie te berekenen, te rekenen met vergelijkingen, waarin een variabele door een andere uitdrukking wordt vervangen en is het mogelijk ingewikkelde uitdrukkingen te vereenvoudigen Symbolische wiskunde staat in tegenstelling tot het gebruiken van benaderingen in de vorm van specifieke numerieke hoeveelheden, die door deze wiskundige symbolen worden vertegenwoordigd. Symbolische wiskunde wordt soms ook aangeduid als symbolische manipulatie, symbolische verwerking, symbolische berekening of symbolische algebra.olische berekening of symbolische algebra.
, Matemática simbólica, diz respeito ao uso … Matemática simbólica, diz respeito ao uso de computadores para manipular equações matemáticas e expressões em forma simbólica, em oposição à mera manipulação de aproximações a quantidades numéricas específicas representadas por aqueles símbolos. Um tal sistema pode ser usado para integração ou diferenciação, substituição de uma expressão numa outra, simplificação de uma expressão, etc. Tem uso no teste de software sobo título de "execução simbólica", onde pode ser usada para analisar se e quando erros no código podem ocorrer. Pode ser usada para prever o que certas partes do código fazem a inputs e outputs especificados. Há vários softwares no mercado para matemática simbólica, normalmente chamados de sistemas de álgebra computacional.ados de sistemas de álgebra computacional.
, En matemàtiques i ciències de la computaci … En matemàtiques i ciències de la computació, la computació algebraica, també anomenada computació simbòlica, és una disciplina científica que es dedica a l'estudi i desenvolupament d'algorismes i programari per a la manipulació d'expressions matemàtiques i altres objectes matemàtics. Encara que, parlant amb propietat, la computació algebraica hauria de ser una subdisciplina de la , normalment se les considera disciplines diferents, perquè la computació científica es basa normalment en el càlcul numèric amb aritmètica en coma flotant pels nombres (que per definició esdevenen aproximats), mentre que la computació algebraica posa especial èmfasi en la computació exacta d'expressions que contenen variables a les quals no se'ls dona cap valor concret, sinó que es manipulen com a símbols (d'aquí el nom de computació simbòlica). Els programaris que realitzen càlculs simbòlics s'anomenen sistemes algebraics computacionals, on el terme sistema es refereix a la complexitat de les aplicacions que el formen, i que com a mínim són: un mètode per representar dades matemàtiques en un ordinador, un llenguatge de programació per l'usuari (que normalment és diferent del llenguatge emprat per a la implementació del sistema), un gestor de memòria dedicat, una interfície d'usuari per a l'entrada i la sortida d'expressions matemàtiques, un conjunt ampli de subrutines per realitzar les operacions usuals, com simplificació d'expressions, derivades que usen la regla de la cadena, factorització de polinomis, integració indefinida, etc. En els inicis de la computació algebraica, vers 1970, quan es van aplicar els algorismes coneguts als ordinadors, es va veure que eren altament ineficients. Per tant, una gran part de la feina dels investigadors consistí a revisar l'àlgebra clàssica per tal de fer-la més efectiva i per descobrir per tal d'implementar aquesta eficiència. Un exemple típic n'és el càlcul del màxim comú divisor per polinomis, que és necessari per simplificar fraccions. La computació algebraica s'usa a bastament per dissenyar les fórmules utilitzades en programes numèrics. També s'usa en càlculs científics complets, quan fallen els mètodes purament numèrics, com ara la criptografia de clau pública o alguns problemes no lineals.lau pública o alguns problemes no lineals.
, Symbolický výpočet či algebraický výpočet … Symbolický výpočet či algebraický výpočet je označení takových počítačových výpočtů, které se snaží nalézt výsledek úpravami matematických rovnic, tedy pracují se matematickými symboly. Jedná se o protiklad numerických výpočtů, při kterých se počítač snaží nalézt (obvykle přibližné) řešení rovnice pouze pro konkrétní číselné zadání pomocí aproximací úpravou parametrů. Počítačové programy provádějící algebraické výpočty se označují termínem počítačový algebraický systém a mezi nejznámější příklady takových programů patří Mathematica a Maxima.ových programů patří Mathematica a Maxima.
, Символьні обчислення — це перетворення і р … Символьні обчислення — це перетворення і робота з математичними рівностями та формулами як з послідовністю символів. Вони відрізняються від числових розрахунків, які оперують наближеними числовими значеннями, що знаходяться поза математичними виразами. Системи символьних обчислень (їх також називають системами комп'ютерної алгебри) можуть бути використані для символьного інтегрування і диференціювання, підстановки одних виразів в інші, спрощення формул та інше. Комп'ютерна алгебра (на відміну від чисельних методів) займається розробкою та реалізацією аналітичних методів вирішення математичних задач на комп'ютері і припускає, що початкові дані, як і результати розв'язку, сформульовані в аналітичному (символьному) вигляді. При аналізі математичної моделі результатом можуть бути загальні та окремі аналітичні рішення сформульованої математичної задачі та їх інтерпретації. Аналітичні рішення частіше вдається отримати для найбільш "грубих" (простих) моделей, рідше — для більш точних, складних (потрібно використовувати чисельні методи, що дозволяють отримати окремі числові рішення багатьох задач).ти окремі числові рішення багатьох задач).
, Le calcul formel, ou parfois calcul symbol … Le calcul formel, ou parfois calcul symbolique, est le domaine des mathématiques et de l’informatique qui s’intéresse aux algorithmes opérant sur des objets de nature mathématique par le biais de représentations finies et exactes.Ainsi, un nombre entier est représenté de manière finie et exacte par la suite des chiffres de son écriture en base 2. Étant donné les représentations de deux nombres entiers, le calcul formel se pose par exemple la question de calculer celle de leur produit. Le calcul formel est en général considéré comme un domaine distinct du calcul scientifique, cette dernière appellation faisant référence au calcul numérique approché à l'aide de nombres en virgule flottante, là où le calcul formel met l'accent sur les calculs exacts sur des expressions pouvant contenir des variables ou des nombres en arithmétique multiprécision.Comme exemples d'opérations de calcul formel, on peut citer le calcul de dérivées ou de primitives, la simplification d'expressions, la décomposition en facteurs irréductibles de polynômes, la mise sous formes normales de matrices, ou encore la résolution des systèmes polynomiaux. Sur le plan théorique, on s’attache en calcul formel à donner des algorithmes avec la démonstration qu’ils terminent en temps fini et la démonstration que le résultat est bien la représentation d’un objet mathématique défini préalablement. Autant que possible, on essaie de plus d’estimer la complexité des algorithmes que l'on décrit, c'est-à-dire le nombre total d’opérations élémentaires qu'ils effectuent. Cela permet d’avoir une idée a priori du temps d’exécution d’un algorithme, de comparer l’efficacité théorique de différents algorithmes ou encore d’éclairer la nature même du problème.ore d’éclairer la nature même du problème.
, 기호 계산(Symbolic computation, Computer algebra)은 수학이나 과학 분야에서 기호(symbol)들로 구성된 대상에 대해 컴퓨터로 계산을 대신하는 처리를 말한다.수학의 경우, 자동 대수 계산, , 등이 여기에 해당한다. 기호 계산을 수행하는 응용 프로그램을 컴퓨터 대수학 시스템이라 부른다.
, En matemáticas y ciencias de la computació … En matemáticas y ciencias de la computación, el cálculo simbólico, también conocido como cálculo algebraico o álgebra computacional, es un área científica que se refiere al estudio y desarrollo de algoritmos y software para la manipulación de expresiones matemáticas y otros objetos matemáticos. Aunque, hablando con propiedad, el álgebra computacional debe ser un sub-campo de la computación científica, ellos son considerados generalmente campos distintos, porque la computación científica se basa generalmente en el análisis numérico con números aproximados en punto flotante; mientras que, el álgebra computacional enfatiza el cálculo exacto con expresiones que contengan variables que no tienen cualquier valor dado y por lo tanto son manipulados como símbolos (de ahí se debe el nombre de cálculo simbólico). Las aplicaciones de software que realizan cálculos simbólicos son conocidos como sistemas de álgebra computacional, con el término sistema aludiendo a la complejidad de las principales aplicaciones que incluyen, al menos, un método para representar los datos matemáticos en una computadora, un lenguaje de programación de usuario (por lo general diferente del lenguaje usado para la ejecución), un administrador de memoria, una interfaz de usuario para la entrada/salida de expresiones matemáticas, un gran conjunto de subrutinas para realizar operaciones usuales, como la simplificación de expresiones, la regla de la cadena utilizando diferenciación, factorización de polinomios, integración indefinida, etc. En los comienzos del álgebra computacional, alrededor de 1970, cuando los algoritmos clásicos fueron puestos por primera vez en los ordenadores, resultaron ser altamente ineficientes. Por lo tanto, una gran parte de la labor de los investigadores en el campo consistió en revisar el álgebra clásica con el fin de hacerla más computable y descubrir algoritmos eficientes que implementen esta eficacia. Un ejemplo típico de este tipo de trabajo es el cálculo del máximo común divisor de polinomios, que se requiere para simplificar fracciones. Casi todo en este artículo, que está detrás del algoritmo clásico de Euclides, ha sido introducido por la necesidad del álgebra computacional. El álgebra computacional es ampliamente utilizada para experimentar en matemática y diseñar las fórmulas que se utilizan en los programas numéricos. También se usa para cálculos científicos completos, cuando los métodos puramente numéricos fallan, como en la criptografía asimétrica o para algunos problemas no lineales.rica o para algunos problemas no lineales.
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En matemàtiques i ciències de la computaci … En matemàtiques i ciències de la computació, la computació algebraica, també anomenada computació simbòlica, és una disciplina científica que es dedica a l'estudi i desenvolupament d'algorismes i programari per a la manipulació d'expressions matemàtiques i altres objectes matemàtics. Encara que, parlant amb propietat, la computació algebraica hauria de ser una subdisciplina de la , normalment se les considera disciplines diferents, perquè la computació científica es basa normalment en el càlcul numèric amb aritmètica en coma flotant pels nombres (que per definició esdevenen aproximats), mentre que la computació algebraica posa especial èmfasi en la computació exacta d'expressions que contenen variables a les quals no se'ls dona cap valor concret, sinó que es manipulen com a símbols (d'aquíinó que es manipulen com a símbols (d'aquí
, Символьные вычисления — это преобразования … Символьные вычисления — это преобразования и работа с математическими равенствами и формулами как с последовательностью символов. Они отличаются от численных расчётов, которые оперируют приближёнными численными значениями, стоящими за математическими выражениями. Системы символьных вычислений (их так же называют системами компьютерной алгебры) могут быть использованы для символьного интегрирования и , подстановки одних выражений в другие, упрощения формул и т. д.ражений в другие, упрощения формул и т. д.
, Symbolische wiskunde of algebraïsche berek … Symbolische wiskunde of algebraïsche berekening heeft betrekking op het gebruik computers om wiskundige vergelijkingen op te lossen en om met uitdrukkingen in symbolische vorm te kunnen rekenen. Met computeralgebra CAS is dit mogelijk. Met een CAS-programma is het bijvoorbeeld mogelijk de primitieve van een gegeven functie te berekenen, te rekenen met vergelijkingen, waarin een variabele door een andere uitdrukking wordt vervangen en is het mogelijk ingewikkelde uitdrukkingen te vereenvoudigengewikkelde uitdrukkingen te vereenvoudigen
, Символьні обчислення — це перетворення і р … Символьні обчислення — це перетворення і робота з математичними рівностями та формулами як з послідовністю символів. Вони відрізняються від числових розрахунків, які оперують наближеними числовими значеннями, що знаходяться поза математичними виразами. Системи символьних обчислень (їх також називають системами комп'ютерної алгебри) можуть бути використані для символьного інтегрування і диференціювання, підстановки одних виразів в інші, спрощення формул та інше. виразів в інші, спрощення формул та інше.
, Matemática simbólica, diz respeito ao uso … Matemática simbólica, diz respeito ao uso de computadores para manipular equações matemáticas e expressões em forma simbólica, em oposição à mera manipulação de aproximações a quantidades numéricas específicas representadas por aqueles símbolos. Um tal sistema pode ser usado para integração ou diferenciação, substituição de uma expressão numa outra, simplificação de uma expressão, etc. Há vários softwares no mercado para matemática simbólica, normalmente chamados de sistemas de álgebra computacional.ados de sistemas de álgebra computacional.
, In Computeralgebrasystemen (CAS) bedeutet … In Computeralgebrasystemen (CAS) bedeutet der Ausdruck symbolische Mathematik, dass Operation und Kalkulation von mathematischen Ausdrücken mit Variablen auf Computern ausgeführt werden. Umgangssprachlich wird dies als „Rechnen mit Buchstaben“ bezeichnet. Ein Beispiel des CAS Maple zeigt das Lösen eines symbolischen Ausdrucks der sog. Mitternachtsformel: >solve(a*x^2+b*x+c=0,x);rnachtsformel: >solve(a*x^2+b*x+c=0,x);
, Symbolický výpočet či algebraický výpočet … Symbolický výpočet či algebraický výpočet je označení takových počítačových výpočtů, které se snaží nalézt výsledek úpravami matematických rovnic, tedy pracují se matematickými symboly. Jedná se o protiklad numerických výpočtů, při kterých se počítač snaží nalézt (obvykle přibližné) řešení rovnice pouze pro konkrétní číselné zadání pomocí aproximací úpravou parametrů. Počítačové programy provádějící algebraické výpočty se označují termínem počítačový algebraický systém a mezi nejznámější příklady takových programů patří Mathematica a Maxima.ových programů patří Mathematica a Maxima.
, En matemáticas y ciencias de la computació … En matemáticas y ciencias de la computación, el cálculo simbólico, también conocido como cálculo algebraico o álgebra computacional, es un área científica que se refiere al estudio y desarrollo de algoritmos y software para la manipulación de expresiones matemáticas y otros objetos matemáticos. Aunque, hablando con propiedad, el álgebra computacional debe ser un sub-campo de la computación científica, ellos son considerados generalmente campos distintos, porque la computación científica se basa generalmente en el análisis numérico con números aproximados en punto flotante; mientras que, el álgebra computacional enfatiza el cálculo exacto con expresiones que contengan variables que no tienen cualquier valor dado y por lo tanto son manipulados como símbolos (de ahí se debe el nombre de cálcuímbolos (de ahí se debe el nombre de cálcu
, الحساب الرمزي أو الحساب الجبري ينتج من است … الحساب الرمزي أو الحساب الجبري ينتج من استخدام الآلات، مثل الحاسوب، لمعالجة معادلات رياضية والتعابير الرمزية، بدلا من التلاعب بالكميات العديدية التي تمثلها هذة الرموز. يمكن استخدام هذا النظام لتحقيق التكامل الرمزي أو التمايز، واستبدال أحد التعابير بأخر، وتبسيط التعبير، الخ. يشار أحيانا لحساب الرمزي التلاعب الرمزي، تجهيز رمزي، ترميز رياضي، أو الجبر الرمزي، لكن قد تشير هذه المصطلحات أيضا إلى التلاعب الغير حسابية. التطبيقات البرمجية التي تقوم بالحساب الرمزي يطلق عليها أنظمة الجبر الحاسوبي.اب الرمزي يطلق عليها أنظمة الجبر الحاسوبي.
, In mathematics and computer science, compu … In mathematics and computer science, computer algebra, also called symbolic computation or algebraic computation, is a scientific area that refers to the study and development of algorithms and software for manipulating mathematical expressions and other mathematical objects. Although computer algebra could be considered a subfield of scientific computing, they are generally considered as distinct fields because scientific computing is usually based on numerical computation with approximate floating point numbers, while symbolic computation emphasizes exact computation with expressions containing variables that have no given value and are manipulated as symbols.iven value and are manipulated as symbols.
, Obliczenia symboliczne – obszar odnoszący … Obliczenia symboliczne – obszar odnoszący się do badania i rozwoju algorytmów i programów komputerowych do manipulowania wyrażeniami matematycznymi. Ogólnie obliczenia możemy wykonywać na liczbach i na symbolach. Wykonując obliczenia na liczbach mamy do czynienia z obliczeniami numerycznymi. Przykłady obliczeń symbolicznych:
* uproszczenie równania x3 + 4·x - 6·x daje wynik x3 - 2·x
* obliczenie całki nieoznaczonej ∫ x dx – wynikiem jest x2/2 + C Czym różnią się obliczenia symboliczne od obliczeń numerycznych w przypadku całkowania i rozwiązywania równań różniczkowych?ania i rozwiązywania równań różniczkowych?
, 기호 계산(Symbolic computation, Computer algebra)은 수학이나 과학 분야에서 기호(symbol)들로 구성된 대상에 대해 컴퓨터로 계산을 대신하는 처리를 말한다.수학의 경우, 자동 대수 계산, , 등이 여기에 해당한다. 기호 계산을 수행하는 응용 프로그램을 컴퓨터 대수학 시스템이라 부른다.
, Le calcul formel, ou parfois calcul symbol … Le calcul formel, ou parfois calcul symbolique, est le domaine des mathématiques et de l’informatique qui s’intéresse aux algorithmes opérant sur des objets de nature mathématique par le biais de représentations finies et exactes.Ainsi, un nombre entier est représenté de manière finie et exacte par la suite des chiffres de son écriture en base 2. Étant donné les représentations de deux nombres entiers, le calcul formel se pose par exemple la question de calculer celle de leur produit.uestion de calculer celle de leur produit.
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