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In the mathematical theory of probability, … In the mathematical theory of probability, the Wiener process, named after Norbert Wiener, is a stochastic process used in modeling various phenomena, including Brownian motion and fluctuations in financial markets. A formula for the conditional probability distribution of the extremum of the Wiener process and a sketch of its proof appears in work of H. J. Kusher (appendix 3, page 106) published in 1964. a detailed constructive proof appears in work of Dario Ballabio in 1978. This result was developed within a research project about Bayesian optimization algorithms. In some global optimization problems the analytical definition of the objective function is unknown and it is only possible to get values at fixed points. There are objective functions in which the cost of an evaluation is very high, for example when the evaluation is the result of an experiment or a particularly onerous measurement. In these cases, the search of the global extremum (maximum or minimum) can be carried out using a methodology named "Bayesian optimization", which tend to obtain a priori the best possible result with a predetermined number of evaluations. In summary it is assumed that outside the points in which it has already been evaluated, the objective function has a pattern which can be represented by a stochastic process with appropriate characteristics. The stochastic process is taken as a model of the objective function, assuming that the probability distribution of its extrema gives the best indication about extrema of the objective function. In the simplest case of the one-dimensional optimization, given that the objective function has been evaluated in a number of points, there is the problem to choose in which of the intervals thus identified is more appropriate to invest in a further evaluation. If a Wiener stochastic process is chosen as a model for the objective function, it is possible to calculate the probability distribution of the model extreme points inside each interval, conditioned by the known values at the interval boundaries. The comparison of the obtained distributions provides a criterion for selecting the interval in which the process should be iterated. The probability value of having identified the interval in which falls the global extremum point of the objective function can be used as a stopping criterion. Bayesian optimization is not an efficient method for the accurate search of local extrema so, once the search range has been restricted, depending on the characteristics of the problem, a specific local optimization method can be used.fic local optimization method can be used.
, In alcuni problemi di ottimizzazione globa … In alcuni problemi di ottimizzazione globale non è nota una definizione analitica della funzione obiettivo ed è solo possibile una sua valutazione in punti prefissati. Vi sono funzioni obiettivo in cui il costo di una valutazione è molto alto, come ad esempio avviene se la valutazione è il risultato di un esperimento o di una misurazione particolarmente onerosa. In questi casi la ricerca degli estremanti globali (massimi o minimi) deve essere effettuata con metodi denominati di “”, che tendono a ottenere il miglior risultato a priori possibile con un numero prefissato di valutazioni. In sintesi si ipotizza che al di fuori dei punti in cui la funzione è già stata valutata, questa abbia un andamento che può essere rappresentato da un processo stocastico con opportune caratteristiche. Il processo stocastico viene assunto come modello della funzione obiettivo, ipotizzando che la distribuzione di probabilità dei suoi punti estremanti dia la migliore indicazione a priori sui valori dei punti estremanti della funzione obiettivo. Nel caso più semplice della ottimizzazione unidimensionale, posto che la funzione obiettivo sia stata valutata in un certo numero di punti, si pone il problema di scegliere in quali degli intervalli così individuati sia più opportuno investire per l'effettuazione di una nuova valutazione. Se come modello della funzione obiettivo si è scelto un processo stocastico di Wiener, è possibile calcolare la distribuzione di probabilità dei punti estremanti del modello all’ interno di ciascun intervallo, condizionata dai valori noti assunti ai suoi estremi. Il confronto delle distribuzioni ottenute offre un criterio per la scelta dell'intervallo in cui iterare il procedimento. Un valore scelto a priori di probabilità di avere individuato un intervallo in cui cade il punto estremante globale della funzione obiettivo può fungere da criterio di arresto. L'ottimizzazione bayesiana non è un metodo efficiente per la ricerca precisa di estremanti locali per cui, una volta ristretto l'intervallo di ricerca, a seconda delle caratteristiche del problema si procede, se necessario, con metodi specifici per l'ottimizzazione locale. La formula della distribuzione con un abbozzo di dimostrazione è indicata nell'articolo di H.J. Kushner (appendix 3, pagina 106) pubblicato nel 1964, la dimostrazione costruttiva dettagliata è ripresa da , sviluppata nel contesto della ricerca nel campo degli algoritmi di ottimizzazione bayesiana.gli algoritmi di ottimizzazione bayesiana.
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, In alcuni problemi di ottimizzazione globa … In alcuni problemi di ottimizzazione globale non è nota una definizione analitica della funzione obiettivo ed è solo possibile una sua valutazione in punti prefissati. Vi sono funzioni obiettivo in cui il costo di una valutazione è molto alto, come ad esempio avviene se la valutazione è il risultato di un esperimento o di una misurazione particolarmente onerosa. In questi casi la ricerca degli estremanti globali (massimi o minimi) deve essere effettuata con metodi denominati di “”, che tendono a ottenere il miglior risultato a priori possibile con un numero prefissato di valutazioni. In sintesi si ipotizza che al di fuori dei punti in cui la funzione è già stata valutata, questa abbia un andamento che può essere rappresentato da un processo stocastico con opportune caratteristiche. Il procico con opportune caratteristiche. Il proc
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Probability distribution of extreme points of a Wiener stochastic process
, Distribuzione di probabilità dei punti estremanti di un processo stocastico di Wiener
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