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Über die Anzahl der Primzahlen unter einer … Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Nederlandse vertaling: Over het aantal priemgetallen beneden een gegeven grootte) is een seminaal tien pagina's tellend artikel door de Duitse wiskundige Bernhard Riemann. Riemann publiceerde dit artikel in de november 1859 editie van de Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlijn. Het artikel geldt als een van de belangrijkste publicaties uit de geschiedenis van de wiskunde. Het artikel bestudeert de priemgetal-telfunctie met behulp van analytische methoden. Hoewel dit het enige artikel is dat Riemann ooit heeft gepubliceerd over de getaltheorie, bevat het artikel ideeën die vanaf de late 19e eeuw tot op de huidige dag duizenden onderzoekers beïnvloed hebben. Het artikel bestaat hoofdzakelijk uit definities, heuristische argumenten, schetsen van bewijzen, en de toepassing van krachtige analytische methoden; al deze methoden zijn essentiële begrippen, concepten en instrumenten in de moderne analytische getaltheorie geworden. Onder de nieuwe definities, ideeën en notatie die Riemann introduceerde waren:
* Het gebruik van de Griekse letter zèta voor een functie die eerder door Euler was genoemd.
* De analytische voortzetting van deze zèta-functie naar alle complexe
* De gehele functie , gerelateerd aan de zèta-functie door de gammafunctie (of de -functie in Riemanns spraakgebruik)
* De discrete functie gedefinieerd voor die werd gedefinieerd door en springt met bij elke priemmacht . (Riemann noemt deze functie .) Onder de bewijzen en schetsen van bewijzen:
* Twee bewijzen van de functionaalvergelijking van .
* Een schets van een bewijs van de productrepresentatie van
* Een schets van een bewijs van de benadering van het aantal wortels van , waarvan de imaginaire delen tussen 0 en liggen. Onder de vermoedens die hij in dit artikel uitte:
* De Riemann-hypothese, dat alle (niet-triviale) nullen van een reëel deel van 1/2 hebben. Riemann formuleerde dit in termen van de wortels van de gerelateerde -functie, "... es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen;. Ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich Schien. "Dat wil zeggen, "het is zeer waarschijnlijk dat alle wortels reëel zijn. Men zou zich hiervoor een strikt bewijs wensen; Ik heb er echter na enige vluchtige vergeefse pogingen er voorlopig van afgezien [een dergelijk bewijs te leveren], aangezien [zo'n bewijs] niet nodig is voor de volgende doel van mijn onderzoek". (Hij besprak een versie van de zèta-functie, die was aangepast zodat haar wortels reëel zijn in plaats van op de kritieke lijn liggen.) Nieuwe methoden en technieken die hij in de getaltheorie introduceerde:
* Functionaalvergelijkingen die voortvloeien uit automorfe vormen
* Analytische voortzetting (hoewel niet in de geest van Weierstrass)
* Contourintegratie
* . Riemann sprak ook over de relatie tussen en de verdeling van de priemgetallen. Hij gebruikte de functie als een maat voor de . Hij behaalde vervolgens het belangrijkste resultaat van zijn artikel, een formule voor , door het te vergelijken met . Riemann vond vervolgens een formule voor de priemgetal-telfunctie (die hij noemt). Hij merkt op dat zijn vergelijking het feit verklaart dat langzamer groeit dan de logaritmische integraalfunctie, zoals ook was gevonden door Carl Friedrich Gauss en . Het artikel bevat enkele bijzonderheden, die moderne lezers niet gewend zijn, zoals het gebruik van in plaats van , het schrijven van in plaats van , en het gebruik van grenzen van tot om een contourintegraal aan te duiden.tot om een contourintegraal aan te duiden.
, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter eine … Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gebegenen Grosse (letteralmente: Sul numero di numeri primi al di sotto di una certa grandezza) è un articolo scientifico scritto dal matematico Bernhard Riemann e pubblicato su Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin nel 1859. È l'unico articolo di Riemann sulla teoria dei numeri. In esso, Riemann studia per la prima volta la funzione zeta (ζ(s)) dal punto di vista dell'analisi complessa, applicando questi risultati allo studio della funzione enumerativa dei primi; le idee e i metodi qui introdotti sono diventati parte essenziale della teoria analitica dei numeri. Tra i nuovi risultati, Riemann dimostra l'esistenza di un prolungamento analitico della funzione zeta su , e ne dimostra l'equazione funzionale; introduce anche la funzione intera , strettamente legata a . Riemann avanza anche la congettura che tutti gli zeri non banali della funzione zeta abbiano parte reale 1/2: questa congettura, ancora non dimostrata, è nota come ipotesi di Riemann.imostrata, è nota come ipotesi di Riemann.
, حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما (بالألمانية Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse) هو كتاب كتبه برنارد ريمان عام 1859.
, Sur le nombre de nombres premiers inférieu … Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée (titre original, en allemand : Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse) est un article de 8 pages écrit par Bernhard Riemann et publié dans l'édition de novembre 1859 des Rapports mensuels de l'Académie de Berlin. Bien que ce soit le seul article qu'il ait publié sur la théorie des nombres, il contient des idées qui ont influencé des milliers de chercheurs depuis la fin du XIXe siècle jusqu'à nos jours, en particulier la formulation de ce qu'on appelle désormais l'hypothèse de Riemann. appelle désormais l'hypothèse de Riemann.
, "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter ein … "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" (usual English translation: "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude") is a seminal 9-page paper by Bernhard Riemann published in the November 1859 edition of the Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin.hen Akademie der Wissenschaften zu Berlin.
, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter eine … Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. ist eine im Jahr 1859 von Bernhard Riemann verfasste 9-seitige Arbeit aus der Zahlentheorie. Sie wird als bahnbrechend und wegbereitend für die moderne analytische Zahlentheorie gesehen. Inhaltlich beschäftigt sich die Schrift mit dem Zusammenhang zwischen den Primzahlen und der Riemannschen Zeta-Funktion, wobei Riemann neu entwickelte Techniken aus der Funktionentheorie erstmals anwendete. der Funktionentheorie erstmals anwendete.
, 『与えられた数より小さい素数の個数について』（あたえられたすうよりちいさいそすうのこ … 『与えられた数より小さい素数の個数について』（あたえられたすうよりちいさいそすうのこすうについて、ドイツ語の原題: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, 英語での定訳: On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）は、19世紀のドイツの数学者であるベルンハルト・リーマンが1859年に発表した論文である。同年の学術誌『ベルリン学士院月報』(Monatsberichte der Königlich Preußischen Akadademie der Wissenschaften zu Berlin) 上に掲載された。解析学や幾何学の分野における業績が多かったリーマンが数論の分野で唯一発表した論文であり、わずか8ページしかなかったが、数々の画期的な内容を含み、後世に甚大な影響を及ぼした。特に解析的整数論においては、本論文は同分野の基本文献とされている。内容的には、この論文はあるべき大論文の要約版・研究速報と見なすことができたが、リーマン自身は7年後の1866年に39歳で没したため、本論文の詳細版が出版されることはついになかった。もし詳細版が出版されていれば、関連分野の研究は70年は短縮されただろうという指摘がある。 本論文には6個の予想が含まれていたが、リーマン没後、うち5つまでは後の数学者達によって証明が与えられた。最後に残されたのがリーマン予想であり、これは数論における最も重要な未解決問題の一つとされている。 この論文の影響はあまりに大きかったため、例えば複素数の表記方法として普通は z = x + iy（特に z = 1/2 + iy）と書くところを、リーマンゼータ関数の非自明な零点を論じる場合に限っては、本論文にちなんで s = 1/2 + it と書く慣習がある。また、「リーマンのゼータ関数」という名称も、元々オイラーが導入した関数であるにもかかわらず、本論文でリーマンが記号 ζ(s) を用いて記述したことから以後定着した。かかわらず、本論文でリーマンが記号 ζ(s) を用いて記述したことから以後定着した。
, 〈주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여〉(독일어: Über die Anz … 〈주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여〉(독일어: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe 위버 디 안찰 데르 프림찰렌 운터 아이너 게게베넨 그뢰세[*])는 베른하르트 리만이 1859년 11월에 베를린 학술원에 발표한 8페이지짜리의 독창적인 논문이다. 비록 이것은 리만이 발표한 수론에 관한 유일한 논문이지만, 19세기말부터 현재에 이르기까지 수많은 연구자들에 영향을 미치고 있는 개념들을 포함하고 있다. 또 이 논문은 증명들을 위한 밑그림들과 발견을 돕는 논증들과 정의들, 그리고 강력한 해석학적 방법론의 응용으로 이루어져 있다. 수학적 증명의 난제로 알려진 리만 가설도 이 논문에 나온다. 이 모든 것들은 근대 해석적 수론의 필수적인 개념과 도구들이 되었다.온다. 이 모든 것들은 근대 해석적 수론의 필수적인 개념과 도구들이 되었다.
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Sur le nombre de nombres premiers inférieu … Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée (titre original, en allemand : Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse) est un article de 8 pages écrit par Bernhard Riemann et publié dans l'édition de novembre 1859 des Rapports mensuels de l'Académie de Berlin. Bien que ce soit le seul article qu'il ait publié sur la théorie des nombres, il contient des idées qui ont influencé des milliers de chercheurs depuis la fin du XIXe siècle jusqu'à nos jours, en particulier la formulation de ce qu'on appelle désormais l'hypothèse de Riemann. appelle désormais l'hypothèse de Riemann.
, حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما (بالألمانية Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse) هو كتاب كتبه برنارد ريمان عام 1859.
, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer … Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Nederlandse vertaling: Over het aantal priemgetallen beneden een gegeven grootte) is een seminaal tien pagina's tellend artikel door de Duitse wiskundige Bernhard Riemann. Riemann publiceerde dit artikel in de november 1859 editie van de Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlijn. Het artikel geldt als een van de belangrijkste publicaties uit de geschiedenis van de wiskunde. Onder de nieuwe definities, ideeën en notatie die Riemann introduceerde waren: Onder de bewijzen en schetsen van bewijzen:nder de bewijzen en schetsen van bewijzen:
, 『与えられた数より小さい素数の個数について』（あたえられたすうよりちいさいそすうのこ … 『与えられた数より小さい素数の個数について』（あたえられたすうよりちいさいそすうのこすうについて、ドイツ語の原題: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, 英語での定訳: On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）は、19世紀のドイツの数学者であるベルンハルト・リーマンが1859年に発表した論文である。同年の学術誌『ベルリン学士院月報』(Monatsberichte der Königlich Preußischen Akadademie der Wissenschaften zu Berlin) 上に掲載された。解析学や幾何学の分野における業績が多かったリーマンが数論の分野で唯一発表した論文であり、わずか8ページしかなかったが、数々の画期的な内容を含み、後世に甚大な影響を及ぼした。特に解析的整数論においては、本論文は同分野の基本文献とされている。内容的には、この論文はあるべき大論文の要約版・研究速報と見なすことができたが、リーマン自身は7年後の1866年に39歳で没したため、本論文の詳細版が出版されることはついになかった。もし詳細版が出版されていれば、関連分野の研究は70年は短縮されただろうという指摘がある。詳細版が出版されていれば、関連分野の研究は70年は短縮されただろうという指摘がある。
, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter eine … Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gebegenen Grosse (letteralmente: Sul numero di numeri primi al di sotto di una certa grandezza) è un articolo scientifico scritto dal matematico Bernhard Riemann e pubblicato su Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin nel 1859. È l'unico articolo di Riemann sulla teoria dei numeri.ticolo di Riemann sulla teoria dei numeri.
, "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter ein … "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" (usual English translation: "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude") is a seminal 9-page paper by Bernhard Riemann published in the November 1859 edition of the Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin.hen Akademie der Wissenschaften zu Berlin.
, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter eine … Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. ist eine im Jahr 1859 von Bernhard Riemann verfasste 9-seitige Arbeit aus der Zahlentheorie. Sie wird als bahnbrechend und wegbereitend für die moderne analytische Zahlentheorie gesehen. Inhaltlich beschäftigt sich die Schrift mit dem Zusammenhang zwischen den Primzahlen und der Riemannschen Zeta-Funktion, wobei Riemann neu entwickelte Techniken aus der Funktionentheorie erstmals anwendete. der Funktionentheorie erstmals anwendete.
, 〈주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여〉(독일어: Über die Anz … 〈주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여〉(독일어: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe 위버 디 안찰 데르 프림찰렌 운터 아이너 게게베넨 그뢰세[*])는 베른하르트 리만이 1859년 11월에 베를린 학술원에 발표한 8페이지짜리의 독창적인 논문이다. 비록 이것은 리만이 발표한 수론에 관한 유일한 논문이지만, 19세기말부터 현재에 이르기까지 수많은 연구자들에 영향을 미치고 있는 개념들을 포함하고 있다. 또 이 논문은 증명들을 위한 밑그림들과 발견을 돕는 논증들과 정의들, 그리고 강력한 해석학적 방법론의 응용으로 이루어져 있다. 수학적 증명의 난제로 알려진 리만 가설도 이 논문에 나온다. 이 모든 것들은 근대 해석적 수론의 필수적인 개념과 도구들이 되었다.온다. 이 모든 것들은 근대 해석적 수론의 필수적인 개념과 도구들이 되었다.
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与えられた数より小さい素数の個数について
, On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude
, 주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여
, Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée
, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse
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, حول عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما
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