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Dans l'espace euclidien, la distance d'un … Dans l'espace euclidien, la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P). Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes. Soit dans l'espace:
* Le point A de coordonnées
* Un point M quelconque du plan P
* Le projeté orthogonal H de A sur P, noté
* Le plan P d'équation cartésienne: ax + by + cz + d = 0
* un vecteur normal au plan P Alors la distance du point A au plan P notée vaut : d'où, Démonstration Premièrement, on sait que les vecteurs et sont colinéaires, on peut donc écrire : ce qui revient à, Deuxièmement, donc: Ceci revient à résoudre le système suivant: La substitution des coordonnées de H dans la 4e équation par leurs valeurs obtenues dans les 3 premières permet d'écrire : . ou encore : . P étant un plan, a, b, c ne sont pas tous nuls : on a Finalement, la distance de A à P n'est autre que la longueur du vecteur , donc : soit et enfin Ceci termine la preuve.nc : soit et enfin Ceci termine la preuve.
, In Euclidean space, the distance from a po … In Euclidean space, the distance from a point to a plane is the distance between a given point and its orthogonal projection on the plane, the perpendicular distance to the nearest point on the plane. It can be found starting with a change of variables that moves the origin to coincide with the given point then finding the point on the shifted plane that is closest to the origin. The resulting point has Cartesian coordinates : . The distance between the origin and the point is .ance between the origin and the point is .
, المسافة بين نقطة ومستو هي أقرب مسافة تفصل نقطة ومستو.
* إحداثيات النقطة (xA، yA، zA)
* معادلة المستوي (ax + by + cz + d)
* المسافة بينهما dA,D = | axA + byA + czA + d | / √a2 + b2 + c2
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In Euclidean space, the distance from a po … In Euclidean space, the distance from a point to a plane is the distance between a given point and its orthogonal projection on the plane, the perpendicular distance to the nearest point on the plane. It can be found starting with a change of variables that moves the origin to coincide with the given point then finding the point on the shifted plane that is closest to the origin. The resulting point has Cartesian coordinates : . The distance between the origin and the point is .ance between the origin and the point is .
, المسافة بين نقطة ومستو هي أقرب مسافة تفصل نقطة ومستو.
* إحداثيات النقطة (xA، yA، zA)
* معادلة المستوي (ax + by + cz + d)
* المسافة بينهما dA,D = | axA + byA + czA + d | / √a2 + b2 + c2
, Dans l'espace euclidien, la distance d'un … Dans l'espace euclidien, la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P). Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes. Soit dans l'espace: Alors la distance du point A au plan P notée vaut : d'où, Démonstration Premièrement, on sait que les vecteurs et sont colinéaires, on peut donc écrire : . ou encore :aires, on peut donc écrire : . ou encore :
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| rdfs:label |
Distance from a point to a plane
, Distance d'un point à un plan
, مسافة بين نقطة ومستو
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