| http://dbpedia.org/ontology/abstract
|
En arithmétique, un nombre parfait est un … En arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ou encore à la somme de ses diviseurs stricts. Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3. Voir la suite de l'OEIS.re 6 = 1 + 2 + 3. Voir la suite de l'OEIS.
|
| http://dbpedia.org/ontology/thumbnail
|
http://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Perfect_number_Cuisenaire_rods_6.png?width=300 +
|
| http://dbpedia.org/ontology/wikiPageExternalLink
|
http://amicable.homepage.dk/perfect.htm +
, http://www.polprimos.com +
|
| http://dbpedia.org/ontology/wikiPageID
|
11683
|
| http://dbpedia.org/ontology/wikiPageLength
|
15781
|
| http://dbpedia.org/ontology/wikiPageRevisionID
|
190946775
|
| http://dbpedia.org/ontology/wikiPageWikiLink
|
http://fr.dbpedia.org/resource/Arithm%C3%A9tique +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Leonhard_Euler +
, http://fr.dbpedia.org/resource/8_191_%28nombre%29 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Cat%C3%A9gorie:Divisibilit%C3%A9_et_factorisation +
, http://fr.dbpedia.org/resource/%C3%89l%C3%A9ments_%28Euclide%29 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Nombre_abondant +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Cat%C3%A9gorie:Leonhard_Euler +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Euclide +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Carl_Pomerance +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Nombre_d%C3%A9ficient +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Suite_g%C3%A9om%C3%A9trique +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Nombre_de_Mersenne_premier +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Fichier:Perfect_number_Cuisenaire_rods_6.png +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Nombres_100_000_%C3%A0_999_999 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Heuristique_%28math%C3%A9matiques%29 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Nombre_%C3%A0_moyenne_harmonique_enti%C3%A8re +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Congruence_sur_les_entiers +
, http://fr.dbpedia.org/resource/524_287_%28nombre%29 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/3_%28nombre%29 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Base_%28arithm%C3%A9tique%29 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Nombre_triangulaire +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Nombre_de_Fermat +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Fonction_inverse +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Livre_IX_des_%C3%89l%C3%A9ments_d%27Euclide +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Nombres_amicaux +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Syst%C3%A8me_d%C3%A9cimal +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Antiquit%C3%A9 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Cat%C3%A9gorie:Nombre_premier_de_Mersenne +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Nombre_de_Kaprekar +
, http://fr.dbpedia.org/resource/7_%28nombre%29 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Nombre_sociable +
, http://fr.dbpedia.org/resource/31_%28nombre%29 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Diviseur +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Diviseur_strict +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Num%C3%A9rologie +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Entier_sans_facteur_carr%C3%A9 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Entier_naturel +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Nombre_hexagonal +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Gauss +
, http://fr.dbpedia.org/resource/127_%28nombre%29 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Nombre_premier +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Nombre_pratique +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Cat%C3%A9gorie:Propri%C3%A9t%C3%A9_arithm%C3%A9tique +
, http://fr.dbpedia.org/resource/D%C3%A9composition_en_produit_de_facteurs_premiers +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Jacques_Lef%C3%A8vre_d%27%C3%89taples +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Somme_des_diviseurs +
|
| http://fr.dbpedia.org/property/contenu
|
On veut montrer l'équivalence :
: ⇔ A est … On veut montrer l'équivalence :
: ⇔ A est un nombre parfait pair
Sens direct :
Soit , où est premier.
:
Les diviseurs de sont . Leur somme est celle des termes d'une suite géométrique. Elle vaut .
est premier. Ses seuls diviseurs sont et lui-même. Leur somme vaut .
En combinant ces résultats :
:
Par conséquent A = est parfait.
;Sens réciproque
Supposons que soit un nombre parfait pair. , où est un entier impair.
Comme est parfait, la somme de ses diviseurs vaut deux fois sa valeur :
:
Ainsi
De cette égalité, le facteur impair du côté droit doit diviser , le seul facteur impair du côté gauche . Ainsi il existe un entier , tel que . Divisons les deux côtés de l'égalité par le facteur commun :
:
Or
Comme il y a égalité, .
Or admet au moins et lui-même comme diviseurs. doit valoir au minimum +. vaut donc . n'admet que 1 et lui-même comme diviseurs. Il est nécessairement premier.
Ainsi A = avec premier. Ce qui était recherché. = avec premier. Ce qui était recherché.
|
| http://fr.dbpedia.org/property/titre
|
Démonstration du théorème d'Euclide-Euler
|
| http://fr.dbpedia.org/property/wikiPageUsesTemplate
|
http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:Portail +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:8 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:= +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:R%C3%A9f%C3%A9rences +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:47e +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:Traduction/R%C3%A9f%C3%A9rence +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:D%C3%A9monstration +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:1 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:Math +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:4 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:5 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:Es +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:En +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:Exp +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:Ind +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:2 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:7 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:OEIS +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:Mvar +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:Palette +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:%2C +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:XVIIIe_si%C3%A8cle +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:IIIe_si%C3%A8cle_av._J.-C. +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:6 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Mod%C3%A8le:3 +
|
| http://purl.org/dc/terms/subject
|
http://fr.dbpedia.org/resource/Cat%C3%A9gorie:Nombre_premier_de_Mersenne +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Cat%C3%A9gorie:Propri%C3%A9t%C3%A9_arithm%C3%A9tique +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Cat%C3%A9gorie:Divisibilit%C3%A9_et_factorisation +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Cat%C3%A9gorie:Leonhard_Euler +
|
| http://www.w3.org/ns/prov#wasDerivedFrom
|
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_parfait?oldid=190946775&ns=0 +
|
| http://xmlns.com/foaf/0.1/depiction
|
http://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Perfect_number_Cuisenaire_rods_6.png +
|
| http://xmlns.com/foaf/0.1/isPrimaryTopicOf
|
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_parfait +
|
| owl:sameAs |
http://de.dbpedia.org/resource/Vollkommene_Zahl +
, http://sr.dbpedia.org/resource/%D0%A1%D0%B0%D0%B2%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD_%D0%B1%D1%80%D0%BE%D1%98 +
, http://pl.dbpedia.org/resource/Liczba_doskona%C5%82a +
, http://ru.dbpedia.org/resource/%D0%A1%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE +
, http://sk.dbpedia.org/resource/Dokonal%C3%A9_%C4%8D%C3%ADslo +
, http://ur.dbpedia.org/resource/%DA%A9%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%B9%D8%AF%D8%AF +
, http://lt.dbpedia.org/resource/Tobulasis_skai%C4%8Dius +
, http://gl.dbpedia.org/resource/N%C3%BAmero_perfecto +
, http://tg.dbpedia.org/resource/%D0%90%D0%B4%D0%B0%D0%B4%D0%B8_%D0%BC%D1%83%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0%D0%BB +
, http://he.dbpedia.org/resource/%D7%9E%D7%A1%D7%A4%D7%A8_%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%9B%D7%9C%D7%9C +
, http://eo.dbpedia.org/resource/Perfekta_nombro +
, http://lmo.dbpedia.org/resource/N%C3%BCmar_parfett +
, http://la.dbpedia.org/resource/Numerus_perfectus +
, http://uk.dbpedia.org/resource/%D0%94%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE +
, http://be.dbpedia.org/resource/%D0%94%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8B_%D0%BB%D1%96%D0%BA +
, http://ma-graph.org/entity/103996166 +
, http://g.co/kg/m/05x6v +
, http://te.dbpedia.org/resource/%E0%B0%AA%E0%B0%B0%E0%B0%BF%E0%B0%AA%E0%B1%82%E0%B0%B0%E0%B1%8D%E0%B0%A3%E0%B0%B8%E0%B0%82%E0%B0%96%E0%B1%8D%E0%B0%AF +
, http://ar.dbpedia.org/resource/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D9%85%D8%AB%D8%A7%D9%84%D9%8A +
, http://it.dbpedia.org/resource/Numero_perfetto +
, http://sq.dbpedia.org/resource/Numrat_e_p%C3%ABrsosur +
, http://fi.dbpedia.org/resource/T%C3%A4ydellinen_luku +
, http://ko.dbpedia.org/resource/%EC%99%84%EC%A0%84%EC%88%98 +
, http://ta.dbpedia.org/resource/%E0%AE%A8%E0%AE%BF%E0%AE%B1%E0%AF%88%E0%AE%B5%E0%AF%86%E0%AE%A3%E0%AF%8D_%28%E0%AE%95%E0%AE%A3%E0%AE%BF%E0%AE%A4%E0%AE%AE%E0%AF%8D%29 +
, http://pms.dbpedia.org/resource/N%C3%B9mer_p%C3%ABrfet +
, http://ro.dbpedia.org/resource/Num%C4%83r_perfect +
, http://nl.dbpedia.org/resource/Perfect_getal +
, http://vi.dbpedia.org/resource/S%E1%BB%91_ho%C3%A0n_thi%E1%BB%87n +
, http://bn.dbpedia.org/resource/%E0%A6%A8%E0%A6%BF%E0%A6%96%E0%A7%81%E0%A6%81%E0%A6%A4_%E0%A6%B8%E0%A6%82%E0%A6%96%E0%A7%8D%E0%A6%AF%E0%A6%BE +
, http://sl.dbpedia.org/resource/Popolno_%C5%A1tevilo +
, http://el.dbpedia.org/resource/%CE%A4%CE%AD%CE%BB%CE%B5%CE%B9%CE%BF%CF%82_%CE%B1%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82 +
, http://fr.dbpedia.org/resource/Nombre_parfait +
, http://tr.dbpedia.org/resource/M%C3%BCkemmel_say%C4%B1 +
, http://zh.dbpedia.org/resource/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0 +
, http://wuu.dbpedia.org/resource/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0 +
, http://es.dbpedia.org/resource/N%C3%BAmero_perfecto +
, http://th.dbpedia.org/resource/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%9A%E0%B8%B9%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C +
, http://nn.dbpedia.org/resource/Fulkomne_tal +
, https://d-nb.info/gnd/7683309-4 +
, http://nap.dbpedia.org/resource/Nummero_perfetto +
, http://br.dbpedia.org/resource/Niver_peurvat +
, http://scn.dbpedia.org/resource/N%C3%B9mmuru_pirfettu +
, http://id.dbpedia.org/resource/Bilangan_sempurna +
, http://eml.dbpedia.org/resource/N%C3%B9mer_perf%C3%A8t +
, http://pt.dbpedia.org/resource/N%C3%BAmero_perfeito +
, http://fa.dbpedia.org/resource/%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%AA%D8%A7%D9%85 +
, http://ku.dbpedia.org/resource/Hejmar%C3%AAn_nuwaze +
, http://www.wikidata.org/entity/Q170043 +
, http://ja.dbpedia.org/resource/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0 +
, http://is.dbpedia.org/resource/Fullkomin_tala +
, http://cs.dbpedia.org/resource/Dokonal%C3%A9_%C4%8D%C3%ADslo +
, http://ga.dbpedia.org/resource/Uimhir_fhoirfe +
, http://no.dbpedia.org/resource/Perfekt_tall +
, http://simple.dbpedia.org/resource/Perfect_number +
, http://hy.dbpedia.org/resource/%D4%BF%D5%A1%D5%BF%D5%A1%D6%80%D5%B5%D5%A1%D5%AC_%D5%A9%D5%AB%D5%BE +
, http://sv.dbpedia.org/resource/Perfekt_tal +
, http://ca.dbpedia.org/resource/Nombre_perfecte +
, http://ckb.dbpedia.org/resource/%DA%98%D9%85%D8%A7%D8%B1%DB%95%DB%8C_%DA%A9%D8%A7%D9%85%DA%B5 +
, http://bg.dbpedia.org/resource/%D0%A1%D1%8A%D0%B2%D1%8A%D1%80%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BE_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE +
, http://hu.dbpedia.org/resource/T%C3%B6k%C3%A9letes_sz%C3%A1mok +
, http://eu.dbpedia.org/resource/Zenbaki_perfektu +
, http://da.dbpedia.org/resource/Fuldkomne_tal +
, http://dbpedia.org/resource/Perfect_number +
|
| rdfs:comment |
En arithmétique, un nombre parfait est un … En arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ou encore à la somme de ses diviseurs stricts. Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3. Voir la suite de l'OEIS.re 6 = 1 + 2 + 3. Voir la suite de l'OEIS.
|
| rdfs:label |
Perfect getal
, Número perfeito
, Liczba doskonała
, عدد مثالي
, Совершенное число
, Nombre parfait
, Número perfecto
, 完全数
|
| rdfs:seeAlso |
http://www.enciclopedia.cat/EC-GEC-0153761.xml +
, http://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html +
, https://bigenc.ru/text/3588903 +
, https://oeis.org/A000396 +
, https://snl.no/perfekt_tall +
, https://www.britannica.com/topic/perfect-number +
, https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Perfect_number +
|
