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In mathematics, and more specifically in p … In mathematics, and more specifically in projective geometry, a projective frame or projective basis is a tuple of points in a projective space that can be used for defining homogeneous coordinates in this space. More precisely, in a projective space of dimension n, a projective frame is a n + 2-tuple of points such that no hyperplane contains n + 1 of them. A projective frame is sometimes called a simplex, although a simplex in a space of dimension n has at most n + 1 vertices. In this article, only projective spaces over a field K are considered, although most results can be generalized to projective spaces over a division ring. Let P(V) be a projective space of dimension n, where V is a K-vector space of dimension n + 1. Let be the canonical projection that maps a nonzero vector v to the corresponding point of P(V), which is the vector line that contains v. Every frame of P(V) can be written as for some vectors of V. The definition implies the existence of nonzero elements of K such that . Replacing by for and by , one gets the following characterization of a frame: n + 2 points of P(V) form a frame if and only if they are the image by p of a basis of V and the sum of its elements. Moreover, two bases define the same frame in this way, if and only if the elements of the second one are the products of the elements of the first one by a fixed nonzero element of K. As homographies of P(V) are induced by linear endomorphisms of V, it follows that, given two frames, there is exactly one homography mapping the first one onto the second one. In particular, the only homography fixing the points of a frame is the identity map. This result is much more difficult in synthetic geometry (where projective spaces are defined through axioms). It is sometimes called the first fundamental theorem of projective geometry. Every frame can be written as where is basis of V. The projective coordinates or homogeneous coordinates of a point p(v) over this frame are the coordinates of the vector v on the basis If one changes the vectors representing the point p(v) and the frame elements, the coordinates are multiplied by a fixed nonzero scalar. Commonly, the projective space Pn(K) = P(Kn+1) is considered. It has a canonical frame consisting of the image by p of the canonical basis of Kn+1 (consisting of the elements having only one nonzero entry, which is equal to 1), and (1, 1, ..., 1). On this basis, the homogeneous coordinates of p(v) are simply the entries (coefficients) of v. Given another projective space P(V) of the same dimension n, and a frame F of it, there is exactly one homography h mapping F onto the canonical frame of P(Kn+1). The projective coordinates of a point a on the frame F are the homogeneous coordinates of h(a) on the canonical frame of Pn(K). In the case of a projective line, a frame consists of three distinct points. If P1(K) is identified with K with a point at infinity ∞ added, then its canonical frame is (∞, 0, 1). Given any frame (a0, a1, a2), the projective coordinates of a point a ≠ a0 are (r, 1), where r is the cross-ratio (a, a2; a1, a0). If a = a0, the cross ratio is the infinity, and the projective coordinates are (1,0). and the projective coordinates are (1,0).
, Eine projektive Basis ist in der Mathemati … Eine projektive Basis ist in der Mathematik eine Menge von Punkten eines -dimensionalen projektiven Raums, von denen je projektiv unabhängig sind. Projektive Basen werden in der projektiven Geometrie zur Charakterisierung von Projektivitäten und zur Definition projektiver Koordinaten verwendet.inition projektiver Koordinaten verwendet.
, En géométrie projective, un repère project … En géométrie projective, un repère projectif d'un espace projectif de dimension n est la donnée ordonnée de n + 2 points, soit un (n + 2)-uplet de points de l'espace, tels que n + 1 points quelconques choisis parmi ces n + 2 points ne soient jamais inclus dans un sous-espace projectif propre de l'espace de départ (ou de façon équivalente dans un hyperplan projectif de l'espace de départ). Ainsi :
* un repère projectif d'une droite projective est donné par 3 points distincts de la droite ;
* un repère projectif d'un plan projectif est un quadruplet de points du plan, tels que 3 parmi ceux-ci ne sont pas alignés ;
* etc. Les repères projectifs jouent pour les espaces projectifs un rôle analogue à celui des bases pour les espaces vectoriels, et des repères affines pour les espaces affines, c'est-à-dire qu'elle permettent de caractériser les applications associées, en l'occurrence les applications projectives. En dimension finie n il faut :
* n vecteurs pour une base d'un espace vectoriel ;
* n + 1 points pour un repère affine ;
* n + 2 points pour un repère projectif. Une application projective est définie et entièrement déterminée par les images des points d'un repère projectif. Un repère projectif d'un espace projectif de dimension n sur un corps K permet de faire correspondre à ce dernier l'espace projectif défini sur l'espace vectoriel Kn+1 (par une transformation projective ou homographie) et donc de définir un système de coordonnées homogènes (n + 1 coordonnées) sur l'espace d'origine. Intuitivement, on veut repérer un point de l'espace projectif en se donnant un point de l'espace vectoriel de dimension associé. On veut donc choisir une base de cet espace, et considérer les points comme un repère de l'espace projectif. Ayant les coordonnées dans ce repère, on considèrerait alors le vecteur qui définit un unique point dans l'espace projectif. L'erreur de l'argument ci-dessus est que lorsque l'on ne connaît que le repère projectif , on ne peut pas retrouver les vecteurs qui l'avaient défini, mais seulement des vecteurs de la forme . Si l'on considère le nouveau vecteur , celui-ci n'a aucune raison d'être colinéaire à , et donc de donner le même point de l'espace projectif après projection, sauf si tous les sont égaux. L'idée est donc alors d'adjoindre aux points une contrainte, qui peut également se voir comme un point de l'espace projectif, obligeant tout choix de vecteurs comme ci-dessus à vérifier . Pour cela, on impose une contrainte sur la somme qui doit être colinéaire à la somme choisie initialement. Il est alors facile de voir que cela implique la contrainte recherchée. Il suffit donc d'adjoindre aux le point , et alors tout choix de vérifiant permet de retrouver le point de l'espace projectif correspondant aux coordonnées comme indiqué ci-dessus.
* Portail de la géométrieiqué ci-dessus.
* Portail de la géométrie
, In matematica, e più precisamente in geometria proiettiva, un riferimento proiettivo è una struttura, simile a quella di base per gli spazi vettoriali, che permette di assegnare ad ogni punto di uno spazio proiettivo delle coordinate omogenee.
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En géométrie projective, un repère project … En géométrie projective, un repère projectif d'un espace projectif de dimension n est la donnée ordonnée de n + 2 points, soit un (n + 2)-uplet de points de l'espace, tels que n + 1 points quelconques choisis parmi ces n + 2 points ne soient jamais inclus dans un sous-espace projectif propre de l'espace de départ (ou de façon équivalente dans un hyperplan projectif de l'espace de départ). Ainsi :
* n vecteurs pour une base d'un espace vectoriel ;
* n + 1 points pour un repère affine ;
* n + 2 points pour un repère projectif.
* Portail de la géométriepère projectif.
* Portail de la géométrie
, In mathematics, and more specifically in p … In mathematics, and more specifically in projective geometry, a projective frame or projective basis is a tuple of points in a projective space that can be used for defining homogeneous coordinates in this space. More precisely, in a projective space of dimension n, a projective frame is a n + 2-tuple of points such that no hyperplane contains n + 1 of them. A projective frame is sometimes called a simplex, although a simplex in a space of dimension n has at most n + 1 vertices.of dimension n has at most n + 1 vertices.
, Eine projektive Basis ist in der Mathemati … Eine projektive Basis ist in der Mathematik eine Menge von Punkten eines -dimensionalen projektiven Raums, von denen je projektiv unabhängig sind. Projektive Basen werden in der projektiven Geometrie zur Charakterisierung von Projektivitäten und zur Definition projektiver Koordinaten verwendet.inition projektiver Koordinaten verwendet.
, In matematica, e più precisamente in geometria proiettiva, un riferimento proiettivo è una struttura, simile a quella di base per gli spazi vettoriali, che permette di assegnare ad ogni punto di uno spazio proiettivo delle coordinate omogenee.
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