| http://dbpedia.org/ontology/abstract
|
El fractal de Newton es una frontera en el … El fractal de Newton es una frontera en el plano complejo delimitada mediante el método de Newton aplicado a un polinomio fijo p(Z) ∈ ℂ[Z] o a una función trascendente. Es el conjunto de Julia de la función meromorfa z ↦ z − p(z)p′(z), que viene dado por el método de Newton. Cuando no hay ciclos atractivos (de orden mayor que 1), divide el plano complejo en regiones Gk, cada una de las cuales está asociada con una raíz ζk del polinomio, k = 1, …, deg(p). De esta manera, el fractal de Newton es similar al conjunto de Mandelbrot y, al igual que otros fractales, exhibe una apariencia intrincada que surge de una descripción simple. Es relevante en análisis numérico porque muestra que (fuera de la región de orden de convergencia) el método de Newton puede ser muy sensible a la elección del punto de inicio. Muchos puntos del plano complejo están asociados con una de las raíces deg(p) del polinomio de la siguiente manera: el punto se usa como valor inicial z0 para la iteración de Newton zn + 1 := zn − p(zn)p'(zn), produciendo una secuencia de puntos z1, z2, …, Si la secuencia converge a la raíz ζk, entonces z0 era un elemento de la región Gk. Sin embargo, para cada polinomio de grado al menos 2 hay puntos para los cuales la iteración de Newton no converge a ninguna raíz: ejemplos son los límites de las cuencas de atracción de las diversas raíces. Incluso hay polinomios para los que conjuntos abiertos de puntos de partida no convergen a ninguna raíz: un ejemplo simple es z3 − 2z + 2, donde algunos puntos son atraídos por el ciclo 0, 1, 0, 1… en lugar de por una raíz. Un conjunto abierto para el cual las iteraciones convergen hacia una raíz o ciclo dado (que no es un punto fijo), es un conjunto de Julia para la iteración. El conjunto complementario a la unión de todos estos, es el conjunto de Julia. Los conjuntos de Fatou tienen un límite común, a saber, el conjunto de Julia. Por lo tanto, cada punto del conjunto de Julia es un punto de acumulación para cada uno de los conjuntos de Fatou. Es esta propiedad la que causa la estructura fractal del conjunto de Julia (cuando el grado del polinomio es mayor que 2). Para trazar imágenes interesantes, primero se puede elegir un número específico d de puntos complejos (ζ1, …, ζd) y calcular los coeficientes (p1, …, pd) del polinomio . Luego, para una retícula rectangular de puntos en ℂ, se encuentra el índice k(m,n) de la raíz correspondiente ζk(m,n) y se usa para llenar una cuadrícula de M × N píxeles, asignando a cada punto (m,n) un color fk(m,n). Además o alternativamente, los colores pueden depender de la distancia D(m,n), que se define como el primer valor D tal que | zD − ζk(m,n) | < ε para algunos ε > 0 pequeños previamente fijados.nos ε > 0 pequeños previamente fijados.
, Fraktál Newton je obrazec z teorie chaosu, resp. fraktální geometrie. Newtonův fraktál pro rovnici třetího stupně, vybarvený podle dosažených kořenů a rychlosti konvergence
, La fractale de Newton est un ensemble frontière défini dans le plan complexe caractérisé par l’application de la méthode de Newton à un polynôme
, كسيرية نيوتن هي في المستوى العقدي تتميز بطريقة نيوتن، مطبقة على متعددة حدود معينة .
, Il frattale di Newton è un insieme di fron … Il frattale di Newton è un insieme di frontiera nel piano complesso che è caratterizzato dal metodo di Newton applicato a un polinomio o funzione trascendentale. È l'insieme di Julia della funzione meromorfa che è data dal metodo di Newton . Essa, quando non ci sono cicli attrattori (di ordine superiore a 1), divide il piano complesso in regioni , ognuna delle quali è associata alla radice del polinomio, . In questo modo il frattale di Newton è simile all'insieme di Mandelbrot, e come altri frattali mostra un aspetto complesso che deriva da una semplice descrizione. È rilevante per l'analisi numerica perché mostra che (al di fuori della regione di convergenza quadratica) il metodo di Newton può essere molto sensibile alla scelta del punto di partenza. Molti punti del piano complesso sono associati a una delle radici del polinomio nel modo seguente: il punto è usato come valore iniziale e i punti successivi sono dati dal metodo di Newton: , che produce una successione di punti . Se la successione converge alla radice , allora era un elemento della regione . Tuttavia, per ogni polinomio di grado almeno 2 ci sono punti per i quali l'iterazione di Newton non converge a nessuna radice: gli esempi sono i confini dei bacini di attrazione delle varie radici. Esistono anche polinomi per cui gli insiemi aperti di punti di partenza non convergono in nessuna radice: un semplice esempio è , dove alcuni punti sono attratti dal ciclo 0, 1, 0, 1 ... anziché da una radice. Un insieme aperto per il quale le iterazioni convergono verso una data radice o un ciclo di radici (che non è un punto fisso), rappresenta un insieme di Fatou per l'iterazione. L'insieme complementare all'unione di tutti questi è l'insieme di Julia. Gli insieme di Fatou infatti hanno un confine comune, ossia l'insieme di Julia. Pertanto ogni punto dell'insieme di Julia è un punto di accumulazione per ciascuno degli insiemi di Fatou. È proprio questa proprietà che causa la struttura frattale dell'insieme di Julia (quando il grado del polinomio è maggiore di 2).o il grado del polinomio è maggiore di 2).
, 牛顿分形（英語：Newton fractal）是将牛顿法应用于一给定多项式p(Z) … 牛顿分形（英語：Newton fractal）是将牛顿法应用于一给定多项式p(Z) ∈ ℂ[Z]或超越函数而得到的复平面上的一个边界集。它是由牛顿法所定义的亚纯函数z ↦ z − p(z)/p′(z)的朱利亚集。当不存在吸引循环（阶数大于1）时，它将复平面划分为不同的区域Gk，每个区域与多项式的根ζk相关联，其中k = 1, …, deg(p)。此时牛顿分形类似于曼德博集合，并且与其他分形一样，它将简单的数学描述变成了非常繁复的图像。从数值分析的角度而言，牛顿分形表现出牛顿法在二次收敛区域之外对于初始点的选择非常敏感。 将复平面上的某一点作为牛顿法迭代zn + 1 := zn − p(zn)/p'(zn)的初始点z0，可以通过迭代得到一个点序列z1, z2, …,。如果这一序列收敛于根ζk，则将z0划入区域Gk。如此便能将复平面上的这一点与多项式的某一个根相对应。不过值得注意的是，对于二次以上的多项式，都存在一些点会使得牛顿迭代无法收敛到任何根上，例如不同根的吸引域的边界。甚至存在一些多项式，某些开集中的任意初始点都无法收敛到任何根上。一个简单的例子是z3 − 2z + 2，某些点会被吸引到循环0、1、0、1……中，而不被任何根所吸引。 如果以一个开集中的任意点为初始点，迭代最终都收敛于某一根或循环，则该集合是这一牛顿迭代的法图集。一个法图集对应于一个根或循环。所有这些法图集的并集与朱利亚集为互补集。这一朱利亚集即是法图集的共同边界。因此，朱利亚集中的每个点都是每个法图集的一个聚点。正是由于这一性质导致了朱利亚集的分形结构（当多项式的次数大于2时）。 为了绘制一个牛顿分形图像，可以首先选择指定数量d的复点(ζ1, …, ζd)并计算多项式的系数(p1, …, pd) . 于是，对于复平面上的一个矩形网格 找到每个点(m,n)对应的根ζk(m,n)的编号k(m,n)，并通过为每一点分配一个颜色fk(m,n)来填充这一M × N网格。另外，颜色可以取决于距离D(m,n)。对于某一固定的小ε > 0，距离D可以定义为第一个使得|zD − ζk(m,n)| < ε成立的D值。0，距离D可以定义为第一个使得|zD − ζk(m,n)| < ε成立的D值。
, The Newton fractal is a boundary set in th … The Newton fractal is a boundary set in the complex plane which is characterized by Newton's method applied to a fixed polynomial p(Z) ∈ ℂ[Z] or transcendental function. It is the Julia set of the meromorphic function z ↦ z − p(z)/p′(z) which is given by Newton's method. When there are no attractive cycles (of order greater than 1), it divides the complex plane into regions Gk, each of which is associated with a root ζk of the polynomial, k = 1, …, deg(p). In this way the Newton fractal is similar to the Mandelbrot set, and like other fractals it exhibits an intricate appearance arising from a simple description. It is relevant to numerical analysis because it shows that (outside the region of quadratic convergence) the Newton method can be very sensitive to its choice of start point. Almost all points of the complex plane are associated with one of the deg(p) roots of a given polynomial in the following way: the point is used as starting value z0 for Newton's iteration zn + 1 := zn − p(zn)/p'(zn), yielding a sequence of points z1, z2, …, If the sequence converges to the root ζk, then z0 was an element of the region Gk. However, for every polynomial of degree at least 2 there are points for which the Newton iteration does not converge to any root: examples are the boundaries of the basins of attraction of the various roots. There are even polynomials for which open sets of starting points fail to converge to any root: a simple example is z3 − 2z + 2, where some points are attracted by the cycle 0, 1, 0, 1… rather than by a root. An open set for which the iterations converge towards a given root or cycle (that is not a fixed point), is a Fatou set for the iteration. The complementary set to the union of all these, is the Julia set. The Fatou sets have common boundary, namely the Julia set. Therefore, each point of the Julia set is a point of accumulation for each of the Fatou sets. It is this property that causes the fractal structure of the Julia set (when the degree of the polynomial is larger than 2). To plot images of the fractal, one may first choose a specified number d of complex points (ζ1, …, ζd) and compute the coefficients (p1, …, pd) of the polynomial . Then for a rectangular lattice of points in ℂ, one finds the index k(m,n) of the corresponding root ζk(m,n) and uses this to fill an M × N raster grid by assigning to each point (m,n) a color fk(m,n). Additionally or alternatively the colors may be dependent on the distance D(m,n), which is defined to be the first value D such that |zD − ζk(m,n)| < ε for some previously fixed small ε > 0. for some previously fixed small ε > 0.
, Бассе́йны Нью́тона, фракталы Ньютона — раз … Бассе́йны Нью́тона, фракталы Ньютона — разновидность фракталов. Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости (для функции действительной переменной метод Ньютона часто называют методом касательных, который, в данном случае, обобщается для комплексной плоскости). Применим метод Ньютона для нахождения нуля функции комплексного переменного, используя процедуру: Выбор начального приближения представляет особый интерес. Так как функция может иметь несколько нулей, в различных случаях метод может сходиться к различным значениям. Однако, какие именно области обеспечат сходимость к тому или иному корню?еспечат сходимость к тому или иному корню?
, Wstęga Newtona (znany też jako fraktal New … Wstęga Newtona (znany też jako fraktal Newtona albo basen Newtona) – zbiór Julii meromorficznej funkcji która jest dana przez metodę Newtona, dla wielomianów Fraktale Newtona otrzymuje się w następujący sposób: niech będą pierwiastkami wielomianu gdzie Każdemu z nich przypisujemy inny kolor, odpowiednio Dodatkowo wybieramy jeszcze kolor Następnie wybieramy jakiś zbiór punktów na płaszczyźnie zespolonej i każdy rysujemy kolorem c(w), gdzie procedura wybierania c(w) jest następująca: 1.
* (dla ), 2.
* jeśli to Jeśli nie istnieje takie (czyli metoda nie zbiega dla danego to ). (czyli metoda nie zbiega dla danego to ).
, Das Newtonfraktal zu einer nicht-konstante … Das Newtonfraktal zu einer nicht-konstanten meromorphen Funktion , die die komplexen Zahlen in sich abbildet, ist eine Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen. Genauer ist es die Julia-Menge zur Funktion die das Newtonverfahren zum Auffinden von Nullstellen der Funktion beschreibt. Das Newtonverfahren selbst konstruiert aus einem Startwert eine Folge mit der Rekursionsvorschrift . Abhängig vom Startwert kann der Orbit von ganz unterschiedliches Verhalten zeigen. Anmerkung: Hier bezieht sich der Exponent auf als Funktion, und nicht auf deren Funktionswert. bedeutet also die -fach iterierte Anwendung von auf (oder das -te Iterierte von ), formal also . Für die Dynamik in einer Umgebung von gibt es genau zwei Möglichkeiten: 1.
* es gibt eine Umgebung von , so dass die Folge der Abstände beschränkt ist, oder 2.
* für jede (noch so kleine) Umgebung von überdecken die Bilder die gesamte komplexe Ebene samt dem Punkt unendlich (also die gesamte Riemannsche Zahlenkugel). Die Punkte im ersten Fall bilden die Fatou-Menge von , die Punkte im zweiten Fall die Julia-Menge . In der Fatou-Menge kann es insbesondere vorkommen, dass die Folge der Abstände gegen null konvergiert, sich die Orbits von Punkten also dem Orbit von annähern. Falls mindestens drei Nullstellen hat, ist die Julia-Menge immer ein „Fraktal“; daher wird gelegentlich auch „Newtonfraktal von “ genannt.entlich auch „Newtonfraktal von “ genannt.
, Басейни Ньютона, фрактали Ньютона — різнов … Басейни Ньютона, фрактали Ньютона — різновид фракталів. Області з фрактальними межами з'являються при наближеному знаходженні коренів на комплексній площині (для функції дійсної змінної метод Ньютона часто називають методом дотичних, який, у даному випадку, узагальнюється для комплексної площини). Застосуємо метод Ньютона для знаходження нуля , використовуючи процедуру: Вибір початкового наближення представляє особливий інтерес. Оскільки функція може мати декілька нулів, в різних випадках метод може сходитися до різних значень. Проте, що за області забезпечать збіжність до того або іншого кореня?ечать збіжність до того або іншого кореня?
|
| rdfs:comment |
Басейни Ньютона, фрактали Ньютона — різнов … Басейни Ньютона, фрактали Ньютона — різновид фракталів. Області з фрактальними межами з'являються при наближеному знаходженні коренів на комплексній площині (для функції дійсної змінної метод Ньютона часто називають методом дотичних, який, у даному випадку, узагальнюється для комплексної площини). Застосуємо метод Ньютона для знаходження нуля , використовуючи процедуру:аходження нуля , використовуючи процедуру:
, El fractal de Newton es una frontera en el … El fractal de Newton es una frontera en el plano complejo delimitada mediante el método de Newton aplicado a un polinomio fijo p(Z) ∈ ℂ[Z] o a una función trascendente. Es el conjunto de Julia de la función meromorfa z ↦ z − p(z)p′(z), que viene dado por el método de Newton. Cuando no hay ciclos atractivos (de orden mayor que 1), divide el plano complejo en regiones Gk, cada una de las cuales está asociada con una raíz ζk del polinomio, k = 1, …, deg(p). De esta manera, el fractal de Newton es similar al conjunto de Mandelbrot y, al igual que otros fractales, exhibe una apariencia intrincada que surge de una descripción simple. Es relevante en análisis numérico porque muestra que (fuera de la región de orden de convergencia) el método de Newton puede ser muy sensible a la elección del puntde ser muy sensible a la elección del punt
, 牛顿分形（英語：Newton fractal）是将牛顿法应用于一给定多项式p(Z) … 牛顿分形（英語：Newton fractal）是将牛顿法应用于一给定多项式p(Z) ∈ ℂ[Z]或超越函数而得到的复平面上的一个边界集。它是由牛顿法所定义的亚纯函数z ↦ z − p(z)/p′(z)的朱利亚集。当不存在吸引循环（阶数大于1）时，它将复平面划分为不同的区域Gk，每个区域与多项式的根ζk相关联，其中k = 1, …, deg(p)。此时牛顿分形类似于曼德博集合，并且与其他分形一样，它将简单的数学描述变成了非常繁复的图像。从数值分析的角度而言，牛顿分形表现出牛顿法在二次收敛区域之外对于初始点的选择非常敏感。 将复平面上的某一点作为牛顿法迭代zn + 1 := zn − p(zn)/p'(zn)的初始点z0，可以通过迭代得到一个点序列z1, z2, …,。如果这一序列收敛于根ζk，则将z0划入区域Gk。如此便能将复平面上的这一点与多项式的某一个根相对应。不过值得注意的是，对于二次以上的多项式，都存在一些点会使得牛顿迭代无法收敛到任何根上，例如不同根的吸引域的边界。甚至存在一些多项式，某些开集中的任意初始点都无法收敛到任何根上。一个简单的例子是z3 − 2z + 2，某些点会被吸引到循环0、1、0、1……中，而不被任何根所吸引。 为了绘制一个牛顿分形图像，可以首先选择指定数量d的复点(ζ1, …, ζd)并计算多项式的系数(p1, …, pd) .择指定数量d的复点(ζ1, …, ζd)并计算多项式的系数(p1, …, pd) .
, كسيرية نيوتن هي في المستوى العقدي تتميز بطريقة نيوتن، مطبقة على متعددة حدود معينة .
, La fractale de Newton est un ensemble frontière défini dans le plan complexe caractérisé par l’application de la méthode de Newton à un polynôme
, Fraktál Newton je obrazec z teorie chaosu, resp. fraktální geometrie. Newtonův fraktál pro rovnici třetího stupně, vybarvený podle dosažených kořenů a rychlosti konvergence
, The Newton fractal is a boundary set in th … The Newton fractal is a boundary set in the complex plane which is characterized by Newton's method applied to a fixed polynomial p(Z) ∈ ℂ[Z] or transcendental function. It is the Julia set of the meromorphic function z ↦ z − p(z)/p′(z) which is given by Newton's method. When there are no attractive cycles (of order greater than 1), it divides the complex plane into regions Gk, each of which is associated with a root ζk of the polynomial, k = 1, …, deg(p). In this way the Newton fractal is similar to the Mandelbrot set, and like other fractals it exhibits an intricate appearance arising from a simple description. It is relevant to numerical analysis because it shows that (outside the region of quadratic convergence) the Newton method can be very sensitive to its choice of start point.ry sensitive to its choice of start point.
, Бассе́йны Нью́тона, фракталы Ньютона — раз … Бассе́йны Нью́тона, фракталы Ньютона — разновидность фракталов. Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости (для функции действительной переменной метод Ньютона часто называют методом касательных, который, в данном случае, обобщается для комплексной плоскости). Применим метод Ньютона для нахождения нуля функции комплексного переменного, используя процедуру:лексного переменного, используя процедуру:
, Il frattale di Newton è un insieme di fron … Il frattale di Newton è un insieme di frontiera nel piano complesso che è caratterizzato dal metodo di Newton applicato a un polinomio o funzione trascendentale. È l'insieme di Julia della funzione meromorfa che è data dal metodo di Newton . Essa, quando non ci sono cicli attrattori (di ordine superiore a 1), divide il piano complesso in regioni , ognuna delle quali è associata alla radice del polinomio, . ,è associata alla radice del polinomio, . ,
, Das Newtonfraktal zu einer nicht-konstante … Das Newtonfraktal zu einer nicht-konstanten meromorphen Funktion , die die komplexen Zahlen in sich abbildet, ist eine Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen. Genauer ist es die Julia-Menge zur Funktion die das Newtonverfahren zum Auffinden von Nullstellen der Funktion beschreibt. Das Newtonverfahren selbst konstruiert aus einem Startwert eine Folge mit der Rekursionsvorschrift . Abhängig vom Startwert kann der Orbit von ganz unterschiedliches Verhalten zeigen. Für die Dynamik in einer Umgebung von gibt es genau zwei Möglichkeiten:bung von gibt es genau zwei Möglichkeiten:
, Wstęga Newtona (znany też jako fraktal New … Wstęga Newtona (znany też jako fraktal Newtona albo basen Newtona) – zbiór Julii meromorficznej funkcji która jest dana przez metodę Newtona, dla wielomianów Fraktale Newtona otrzymuje się w następujący sposób: niech będą pierwiastkami wielomianu gdzie Każdemu z nich przypisujemy inny kolor, odpowiednio Dodatkowo wybieramy jeszcze kolor Następnie wybieramy jakiś zbiór punktów na płaszczyźnie zespolonej i każdy rysujemy kolorem c(w), gdzie procedura wybierania c(w) jest następująca: 1.
* (dla ), 2.
* jeśli to Jeśli nie istnieje takie (czyli metoda nie zbiega dla danego to ). (czyli metoda nie zbiega dla danego to ).
|
